A relative Langlands dual realization of $T^*(G/K)$ and derived Satake

Technische Samenvatting: Een relatieve Langlands-duale realisatie van $T^*(G/K)$ en de afgeleide Satake

Probleemstelling
Het artikel behandelt het probleem van het identificeren van de "relatieve duale" (of symplectische duale) variëteit $M_{\check{G}, \check{X}}$ geassocieerd met een sferische variëteit $\check{X}$ voor een Langlands-duale groep $\check{G}$. Hoewel de constructie van dergelijke duale variëteiten via ringobjecten in de afgeleide Satake-categorie goed gevestigd is voor gesplitste groepen en specifieke gevallen (bijv. $\check{X} = \check{G}$), onderzoekt dit artikel het inverse probleem: gegeven een affiene Hamiltoniaanse $G$-variëteit $M$ van belang in de representatietheorie, specifiek de cotangente bundel $T^*(G/K)$ van een quasi-gesplitste symmetrische ruimte $X = G/K$, kan men dan een corresponderende sferische variëteit $\check{X}$ voor de duale groep $\check{G}$ identificeren waarvoor $M \cong M_{\check{G}, \check{X}}$ geldt?

De auteurs richten zich op het geval waarbij $G$ een quasi-gesplitste symmetrische ruimte is die niet noodzakelijkerwijs gesplitst is. In dergelijke gevallen faalt de naïeve kandidaat voor de duale symmetrische ruimte (de quotient van de duale groep door de dual van de duale symmetrische subgroep) om de juiste geometrie te produceren. Het artikel tracht dit op te lossen door de introductie van "loop symmetrische ruimten" en door een afgeleide categorische equivalentie (Afgeleide Satake) te vestigen die bekende resultaten voor reductieve groepen generaliseert naar deze quasi-gesplitste settings.

Methodologie
De methodologie combineert geometrische representatietheorie, de theorie van loop-groepen en de studie van reguliere centralisator-groep-schema's.

1. Geometrische Opzet en Kostant-Rallis Theorie:
   De auteurs maken gebruik van de Kostant-Rallis theorie voor symmetrische ruimten. Ze relateren de cotangente bundel $T^*(G/K)$ aan de reguliere centralisator-groep-schema's $J_G$ en $J_H$ (waarbij $H$ een gerelateerde gesplitste symmetrische subgroep is). Specifiek vestigen zij een isomorfisme tussen de coördinatenring van $T^*(G/K)$ en de ring van invarianten van een specifieke quotient die $G$, $H$, en de norm-afbeelding tussen centralisator-groep-schema's betreft.

2. Getwiste Loop-groepen en Affiene Grassmannianen:
   De kern van de technische innovatie betreft de introductie van een "getwiste" involutie $\check{\theta}$ op de loop-groep $\check{G}(F)$, gedefinieerd door $\check{\theta}(\gamma)(t) = \check{\theta}_0(\gamma(-t))$, waarbij $\check{\theta}_0$ een gepinde involutie is van de duale groep. Dit leidt tot de definitie van de getwiste loop-groep $\check{G}(F)^{\check{\theta}}$ en de getwiste affiene Grassmanniaan $\text{Gr}^{\check{\theta}} = \check{G}(F)^{\check{\theta}} / \check{G}(O)^{\check{\theta}}$.

3. Afgeleide Satake-equivalentie voor Getwiste Grassmannianen:
   De auteurs bewijzen een afgeleide Satake-equivalentie voor deze getwiste affiene Grassmannianen. Ze tonen aan dat de afgeleide categorie van $\check{G}(O)^{\check{\theta}}$-equivariante sheaves op $\text{Gr}^{\check{\theta}}$ equivalent is aan de categorie van perfecte complexen op de verschoven cotangente bundel van de gesplitste symmetrische subgroep $H$ (specifiek $T^*H[2]$). Dit breidt het werk van Zhu en anderen uit naar de afgeleide setting.

4. Ringobjecten en Relatieve Dualen:
   Gebruikmakend van het kader van BZSV (Ben-Zvi, Nadler, Sakellaridis) en BFN (Braverman, Finkelberg, Nakajima), construeren de auteurs een ringobject $A_{\check{G}, \check{\theta}}$ in de afgeleide Satake-categorie geassocieerd met de loop symmetrische ruimte $\check{X}^{\check{\theta}}(F) = \check{G}(F) / \check{G}(F)^{\check{\theta}}$. Ze definiëren de relatieve duale variëteit $M_{\check{G}, \check{\theta}}$ via de coördinatenring van dit ringobject.

5. Zuiverheid en Formaliteit:
   Een cruciale stap is het bewijzen van formaliteit en vol-getrouwheidseigenschappen voor $!$-pure objecten in de getwiste afgeleide Satake-categorie. Dit stelt de auteurs in staat om de cohomologie van deze ringobjecten expliciet te berekenen, wat de geometrie van $T^*(G/K)$ koppelt.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.1 (Geometrisch Isomorfisme): De auteurs vestigen een natuurlijke $G$-equivariante isomorfisme van ringen:
  $$C[M_{\check{G}, \check{\theta}}] \cong C[T^*(G/K)]$$
  Dit identificeert de relatieve duale van de loop symmetrische ruimte $\check{X}^{\check{\theta}}(F)$ met de cotangente bundel van de quasi-gesplitste symmetrische ruimte $G/K$. Dit biedt een concrete familie van voorbeelden van relatieve Langlands-dualiteit voor niet-gesplitste groepen.

• Stelling 1.2 (Afgeleide Satake voor Loop Symmetrische Ruimten): Het artikel vestigt een canonieke equivalentie tussen de afgeleide Satake-categorie voor de loop symmetrische ruimte en de categorie van equivariante perfecte complexen op de verschoven cotangente bundel:
  $$D^b_{\check{G}(O)}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G(T^*(G/K)[2])$$
  Hierbij duidt het subscript $e$ op de subcategorie gegenereerd door de dualiserende sheaf van de basisbaan onder de Hecke-actie. Dit generaliseert de afgeleide Satake-equivalentie van reductieve groepen naar quasi-gesplitste symmetrische ruimten.

• Stelling 1.3 (Getwiste Afgeleide Satake en Zuiverheid):

  1. Een monoidale equivalentie wordt bewezen voor de getwiste affiene Grassmanniaan: $D^b_{\check{G}(O)^{\check{\theta}}}(\text{Gr}^{\check{\theta}}) \cong \text{Perf}_{H \times H}(T^*H[2])$.
  2. Een resultaat van vol-getrouwheid wordt vastgesteld voor $!$-pure objecten, wat een formule geeft voor de cohomologie van tensorproducten die de inbedding van de getwiste Grassmanniaan in de standaard affiene Grassmanniaan betreft.

• Bezrukavnikov Equivalentie (Stelling 1.4): Door de afgeleide Satake-equivalentie te combineren met recent werk over tamelijk ramifieerde equivalenties, leiden de auteurs een constructieve realisatie af van equivariante perfecte complexen op de base change van de Grothendieck-Springer resolutie langs de moment-map:
  $$D^b_{\check{I}}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G((T^*(G/K) \times_{\mathfrak{g}^*} \tilde{\mathfrak{g}})[2])$$
  Dit dient als een versie van de Bezrukavnikov-equivalentie voor quasi-gesplitste symmetrische ruimten.

• Extensies en Varianten: Het artikel bespreekt varianten van deze resultaten, waaronder gevallen met triality (voor $\text{Spin}_8$), speciale parahorische subgroepen (gerelateerd aan $SU_{2n+1}$), en subvelden $F_n = \mathbb{C}((t^n))$. Deze gevallen dekken alle getwiste affiene Grassmannianen die in eerdere literatuur (bijv. het werk van Zhu) zijn overwogen.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een "positief antwoord" te geven op de vraag of de cotangente bundel van een quasi-gesplitste symmetrische ruimte voortkomt uit een relatieve duale variëteit. De betekenis ligt in:

1. Generalisering van Langlands-dualiteit: Het breidt het raamwerk van de relatieve Langlands-dualiteit, dat voorheen grotendeels beperkt was tot gesplitste groepen of specifieke sferische variëteiten, uit naar de sfeer van niet-gesplitste (quasi-gesplitste) symmetrische ruimten.
2. Categorische Realisatie: Het biedt een "constructieve realisatie" van de categorie van perfecte complexen op $T^*(G/K)$ in termen van sheaves op loop symmetrische ruimten, wat effectief de Plancherel-formule voor deze ruimten categoriseert.
3. Verbinding met Geometrische Langlands: De auteurs merken op dat deze resultaten bewijs leveren voor een "Getwiste Relatieve Langlands-dualiteit"-conjectuur, die een relatie postuleert tussen de afgeleide categorie van de loop symmetrische ruimte en de categorie van constructieve complexen op de moduli-stack van reële bundles op de twistor $\mathbb{P}^1$.
4. Technisch Fundament: Het werk vestigt de afgeleide Satake-equivalentie voor getwiste affiene Grassmannianen, een resultaat van onafhankelijke interesse dat steunt op de studie van nabijheidscycli-functoren en de formaliteit van $!$-pure objecten.

De auteurs stellen expliciet dat de resultaten berusten op het feit dat $G$ adjoint is en $X$ quasi-gesplitst. Ze merken ook op dat hoewel het artikel de afgeleide Satake-equivalentie vaststelt, de kwantum-tegenhanger (gerelateerd aan $(\mathfrak{g}, K)$-modules) is voorbehouden aan toekomstig werk. Het artikel claimt niet het volledige geometrische Langlands-programma voor deze ruimten op te lossen, maar vestigt een cruciale brug tussen de geometrie van symmetrische ruimten en de representatietheorie van loop-groepen via de lens van relatieve dualiteit.