Local isomorphisms for families of projective non-unruled manifolds

Sintesi Tecnica: Isomorfismi Locali per Famiglie di Varietà Proiettive Non Uniruled

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta una questione posta da Wehler nel 1977 riguardante la relazione tra isomorfismo puntuale e isomorfismo locale in famiglie di varietà complesse compatte. Nello specifico, date due famiglie lisce di varietà complesse compatte, $\pi: X \to S$ e $\pi': Y \to S$, su una varietà complessa $S$, se le fibre sono isomorfe punto per punto (cioè, esiste un bi-olomorfismo $f_s: Y_s \to X_s$ per ogni $s \in S$), le famiglie sono localmente isomorfe?

Lavori precedenti hanno stabilito questo risultato per casi specifici, come i tori complessi e le varietà con curvatura olomorfa negativa. Tuttavia, una dimostrazione generale per famiglie arbitrarie fu tentata da Meersseman, ma risultò contenere lacune, evidenziate da un controesempio costruito da Kirschner. Ciò ha portato a una congettura indebolita (Congettura 1.2): se la dimensione dello spazio dei campi vettoriali olomorfi, $s \to \dim H^0(Y_s, TY_s)$, è costante, esiste un sottoinsieme aperto denso $U \subset S$ in cui le famiglie ristrette sono localmente isomorfe?

Metodologia
L'autore, Mu-Lin Li, si concentra specificamente su famiglie di varietà proiettive non uniruled. La strategia di dimostrazione si basa sulla teoria degli spazi dei moduli per varietà di Kähler polarizzate, utilizzando costruzioni di Fujiki e Schumacher. La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi logici:

1. Trivialisazione Topologica e Cohomologia:
   Per una famiglia liscia su un disco $\Delta$, il lavoro utilizza il fatto che tale famiglia costituisce un fibrato liscio. Ciò permette la costruzione di diffeomorfismi $T: X \cong X_{t_1} \times \Delta$. L'autore analizza il comportamento delle classi di coomologia sotto questi diffeomorfismi, notando che i diffeomorfismi nella stessa componente connessa del gruppo dei diffeomorfismi inducono morfismi identici sui gruppi di coomologia (Proposizione 2.4).

2. Esistenza di Polarizzazioni Relative:
   Un ostacolo tecnico critico è fornire alle famiglie polarizzazioni (classi di Kähler) che varino olomorficamente.

   • Lemma 3.1 e 3.2: L'autore dimostra che se una classe di coomologia si restringe a una classe $(1,1)$ (o a una classe intera) su un sottoinsieme non numerabile della base, è possibile costruire un fibrato lineare globale sullo spazio totale la cui prima classe di Chern si restringe alla classe desiderata sulle fibre. Ciò si basa sul teorema di Lefschetz sulle classi $(1,1)$ e sul fatto che i sottoinsiemi analitici di un disco non possono essere non numerabili a meno che non siano l'intero disco.
   • Ciò permette la costruzione di fibrati lineari relativamente ampi $L$ su $X$ e $\tilde{L}$ su $Y$ su un sottoinsieme aperto denso di Zariski della base.

3. Mappatura nello Spazio dei Moduli:
   Con le famiglie ora dotate di polarizzazioni relative, esse definiscono due mappe olomorfe, $f, f': U \to \mathcal{M}$, dalla base allo spazio dei moduli grezzo $\mathcal{M}$ delle varietà proiettive polarizzate non uniruled.

   • L'isomorfismo puntuale delle fibre implica che le mappe indotte sullo spazio dei moduli coincidono su un insieme non numerabile di punti (derivato dalle componenti connesse del gruppo dei diffeomorfismi).
   • Lemma 3.3: Viene invocato un risultato standard dell'analisi complessa: se due mappe olomorfe da un dominio convesso olomorfo a uno spazio complesso coincidono su un insieme non numerabile, esse sono identiche ovunque. Pertanto, le mappe verso lo spazio dei moduli coincidono sull'intero insieme aperto $U$.

4. Completezza Locale e Famiglie di Kuranishi:
   L'ultimo passaggio utilizza la proprietà secondo cui il funtore dei moduli per le varietà polarizzate non uniruled è localmente completo (Proposizione 2.8, basata su Fujiki e Schumacher).

   • Poiché le mappe verso lo spazio dei moduli sono identiche, le famiglie sono localmente pullback della stessa famiglia universale (di Kuranishi).
   • Poiché lo spazio dei moduli è uno spazio dei moduli grezzo, l'unicità locale del pullback (a meno dell'azione di un gruppo finito di automorfismi) garantisce l'esistenza di un bi-olomorfismo tra le famiglie ristrette $X_U$ e $Y_U$ che commuta con le proiezioni.

Contributi e Risultati Chiave
Il lavoro stabilisce il Teorema 1.3:

Siano $\pi: X \to S$ e $\pi': Y \to S$ due famiglie lisce di varietà proiettive non uniruled su una superficie di Riemann $S$. Supponiamo che queste due famiglie siano isomorfe punto per punto. Allora esiste un sottoinsieme aperto denso $U \subset S$ tale che le famiglie ristrette sono localmente isomorfe in ogni punto $s \in U$.

Questo risultato fornisce una risposta parzialmente affermativa alla domanda di Wehler, specificamente per la classe delle varietà proiettive non uniruled. La dimostrazione non richiede l'assunzione esplicita di $\dim H^0(Y_s, TY_s)$ costante nell'enunciato finale del teorema per questa specifica classe, poiché le proprietà delle varietà non uniruled e la costruzione dello spazio dei moduli sono sufficienti a stabilire l'isomorfismo locale su un insieme aperto denso.

Significato
Il lavoro afferma di risolvere parzialmente un problema di lunga data nella teoria delle deformazioni delle varietà complesse. Limitando la portata alle varietà proiettive non uniruled, l'autore supera con successo gli ostacoli riscontrati nel caso generale (come dimostrato dal controesempio di Kirschner). Il lavoro dimostra che l'esistenza di uno spazio dei moduli grezzo per le varietà polarizzate non uniruled, combinata con la completezza locale della famiglia di Kuranishi, è sufficiente per elevare l'isomorfismo puntuale a isomorfismo locale su un insieme aperto denso. Il risultato è inquadrato come un passo verso la comprensione della rigidità delle famiglie di varietà complesse compatte.