Local isomorphisms for families of projective non-unruled manifolds

技术摘要：射影非 uniruled 流形族的局部同构

问题陈述
本文探讨了 Wehler 于 1977 年提出的关于紧复流形族中逐点同构与局部同构之间关系的问题。具体而言，给定两个定义在复流形 $S$ 上的紧复流形光滑族 $\pi: X \to S$ 和 $\pi': Y \to S$，如果纤维是逐点同构的（即对于每个 $s \in S$，存在双全纯映射 $f_s: Y_s \to X_s$），那么这两个族是否局部同构？

先前的工作已在特定情形下确立了这一结论，例如复环面和具有负全纯曲率的流形。然而，Meersseman 曾尝试对任意族给出一般性证明，但被发现存在漏洞，Kirschner 构造的反例凸显了这一点。这导致了一个弱化的猜想（猜想 1.2）：如果全纯向量场空间的维数 $s \to \dim H^0(Y_s, TY_s)$ 为常数，是否存在一个开稠密子集 $U \subset S$，使得限制在该子集上的族是局部同构的？

方法论
作者 Mu-Lin Li 专门针对射影非 uniruled 流形的族进行研究。证明策略依赖于极化 Kähler 流形的模空间理论，利用了 Fujiki 和 Schumacher 的构造。方法论遵循以下逻辑步骤：

1. 拓扑平凡化与上同调：
   对于定义在圆盘 $\Delta$ 上的光滑族，本文利用了该族构成光滑纤维丛这一事实。这使得可以构造微分同胚 $T: X \cong X_{t_1} \times \Delta$。作者分析了上同调类在这些微分同胚下的行为，指出位于微分同胚群同一连通分量中的微分同胚在上同调群上诱导相同的态射（命题 2.4）。

2. 相对极化的存在性：
   一个关键的技术障碍是为这些族配备随全纯变化的极化（Kähler 类）。

   • 引理 3.1 和 3.2： 作者证明，如果一个上同调类在底空间的不可数子集上限制为 $(1,1)$-类（或整类），则可以构造总空间上的一个整体线丛，其第一陈类在纤维上限制为所需的类。这依赖于 $(1,1)$-类的 Lefschetz 定理，以及圆盘中的解析子集除非是整个圆盘否则不可能是不可数的事实。
   • 这使得可以在底空间的 Zariski 开稠密子集上构造 $X$ 上的相对丰沛线丛 $L$ 和 $Y$ 上的 $\tilde{L}$。

3. 模空间映射：
   在族配备了相对极化之后，它们定义了从底空间到极化射影非 uniruled 流形的粗模空间 $\mathcal{M}$ 的两个全纯映射 $f, f': U \to \mathcal{M}$。

   • 纤维的逐点同构意味着诱导的模空间映射在不可数个点集上（源于微分同胚群的连通分量）是一致的。
   • 引理 3.3： 引用复分析中的标准结果：如果两个从全纯凸域到复空间的全纯映射在不可数集上相等，则它们在整个定义域上恒等。因此，到模空间的映射在整个开集 $U$ 上重合。

4. 局部完备性与 Kuranishi 族：
   最后一步利用了极化非 uniruled 流形的模函子是局部完备的这一性质（命题 2.8，基于 Fujiki 和 Schumacher 的工作）。

   • 由于到模空间的映射完全相同，这些族局部地是同一个通用（Kuranishi）族的拉回。
   • 由于模空间是粗模空间，拉回的局部唯一性（在有限自同构群的作用下）确保了在限制族 $X_U$ 和 $Y_U$ 之间存在一个与投影交换的双全纯映射。

主要贡献与结果
本文确立了定理 1.3：

设 $\pi: X \to S$ 和 $\pi': Y \to S$ 是定义在黎曼曲面 $S$ 上的两个射影非 uniruled 流形的光滑族。假设这两个族是逐点同构的。则存在一个开稠密子集 $U \subset S$，使得限制族在 $U$ 中的每一点 $s$ 处都是局部同构的。

该结果为 Wehler 的问题提供了部分肯定的回答，具体针对射影非 uniruled 流形这一类。对于这一特定类别，证明在最终定理陈述中不需要显式假设 $\dim H^0(Y_s, TY_s)$ 为常数，因为非 uniruled 流形的性质和模空间构造足以在开稠密子集上确立局部同构。

意义
本文声称部分解决了复流形形变理论中长期存在的问题。通过将范围限制在射影非 uniruled 流形上，作者成功避开了在一般情形下发现的障碍（如 Kirschner 的反例所示）。这项工作表明，极化非 uniruled 流形粗模空间的存在性，结合 Kuranishi 族的局部完备性，足以将逐点同构提升为开稠密子集上的局部同构。该结果被表述为理解紧复流形族刚性问题的一个步骤。