Local isomorphisms for families of projective non-unruled manifolds

Resumo Técnico: Isomorfismos Locais para Famílias de Variedades Projetivas Não-Unirregradas

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão levantada por Wehler em 1977 sobre a relação entre isomorfismo pontual e isomorfismo local em famílias de variedades complexas compactas. Especificamente, dadas duas famílias suaves de variedades complexas compactas, $\pi: X \to S$ e $\pi': Y \to S$, sobre uma variedade complexa $S$, se as fibras são isomórficas pontualmente (isto é, existe um bi-holomorfismo $f_s: Y_s \to X_s$ para todo $s \in S$), as famílias são localmente isomórficas?

Trabalhos anteriores estabeleceram isso para casos específicos, como toros complexos e variedades com curvatura holomorfa negativa. No entanto, uma prova geral para famílias arbitrárias foi tentada por Meersseman, mas constatou-se conter lacunas, destacadas por um contraexemplo construído por Kirschner. Isso levou a uma conjectura enfraquecida (Conjectura 1.2): se a dimensão do espaço dos campos vetoriais holomorfos, $s \to \dim H^0(Y_s, TY_s)$, é constante, existe um subconjunto aberto denso $U \subset S$ onde as famílias restritas são localmente isomórficas?

Metodologia
O autor, Mu-Lin Li, foca especificamente em famílias de variedades projetivas não-unirregradas. A estratégia de prova baseia-se na teoria dos espaços de módulos para variedades de Kähler polarizadas, utilizando construções de Fujiki e Schumacher. A metodologia procede através dos seguintes passos lógicos:

1. Trivialização Topológica e Cohomologia:
   Para uma família suave sobre um disco $\Delta$, o artigo utiliza o fato de que tal família forma um fibrado suave. Isso permite a construção de difeomorfismos $T: X \cong X_{t_1} \times \Delta$. O autor analisa o comportamento das classes de cohomologia sob esses difeomorfismos, observando que difeomorfismos na mesma componente conexa do grupo de difeomorfismos induzem morfismos idênticos nos grupos de cohomologia (Proposição 2.4).

2. Existência de Polarizações Relativas:
   Um obstáculo técnico crítico é equipar as famílias com polarizações (classes de Kähler) que variam holomorficamente.

   • Lemmas 3.1 e 3.2: O autor prova que, se uma classe de cohomologia se restringe a uma classe $(1,1)$ (ou uma classe integral) em um subconjunto não enumerável da base, pode-se construir um fibrado de linha global sobre o espaço total cuja primeira classe de Chern se restringe à classe desejada nas fibras. Isso depende do teorema de Lefschetz sobre classes $(1,1)$ e do fato de que subconjuntos analíticos de um disco não podem ser não enumeráveis a menos que sejam o disco inteiro.
   • Isso permite a construção de fibrados de linha relativamente amplos $L$ em $X$ e $\tilde{L}$ em $Y$ sobre um subconjunto aberto denso de Zariski da base.

3. Mapeamento para o Espaço de Módulos:
   Com as famílias agora equipadas com polarizações relativas, elas definem dois mapas holomorfos, $f, f': U \to \mathcal{M}$, da base para o espaço de módulos grosseiro $\mathcal{M}$ de variedades projetivas não-unirregradas polarizadas.

   • O isomorfismo pontual das fibras implica que os mapas induzidos no espaço de módulos concordam em um conjunto não enumerável de pontos (derivado das componentes conexas do grupo de difeomorfismos).
   • Lema 3.3: Invoca-se um resultado padrão da análise complexa: se dois mapas holomorfos de um domínio convexo holomorfo para um espaço complexo concordam em um conjunto não enumerável, eles são idênticos em toda parte. Assim, os mapas para o espaço de módulos coincidem em todo o conjunto aberto $U$.

4. Completude Local e Famílias de Kuranishi:
   O passo final utiliza a propriedade de que o functor de módulos para variedades não-unirregradas polarizadas é localmente completo (Proposição 2.8, baseado em Fujiki e Schumacher).

   • Como os mapas para o espaço de módulos são idênticos, as famílias são pullbacks locais da mesma família universal (Kuranishi).
   • Como o espaço de módulos é um espaço de módulos grosseiro, a unicidade local do pullback (a menos da ação de um grupo finito de automorfismos) garante a existência de um bi-holomorfismo entre as famílias restritas $X_U$ e $Y_U$ que comuta com as projeções.

Contribuições e Resultados Chave
O artigo estabelece o Teorema 1.3:

Sejam $\pi: X \to S$ e $\pi': Y \to S$ duas famílias suaves de variedades projetivas não-unirregradas sobre uma superfície de Riemann $S$. Suponha que essas duas famílias sejam isomórficas pontualmente. Então, existe um subconjunto aberto denso $U \subset S$ tal que as famílias restritas são localmente isomórficas em todo ponto $s \in U$.

Este resultado fornece uma resposta afirmativa parcial à questão de Wehler, especificamente para a classe de variedades projetivas não-unirregradas. A prova não requer a suposição de $\dim H^0(Y_s, TY_s)$ constante explicitamente na afirmação final do teorema para esta classe específica, pois as propriedades das variedades não-unirregradas e a construção do espaço de módulos são suficientes para estabelecer o isomorfismo local em um conjunto aberto denso.

Significado
O artigo afirma resolver parcialmente um problema de longa data na teoria da deformação de variedades complexas. Ao restringir o escopo às variedades projetivas não-unirregradas, o autor contorna com sucesso os obstáculos encontrados no caso geral (como demonstrado pelo contraexemplo de Kirschner). O trabalho demonstra que a existência de um espaço de módulos grosseiro para variedades não-unirregradas polarizadas, combinada com a completude local da família de Kuranishi, é suficiente para elevar o isomorfismo pontual ao isomorfismo local em um conjunto aberto denso. O resultado é enquadrado como um passo para a compreensão da rigidez de famílias de variedades complexas compactas.