Local isomorphisms for families of projective non-unruled manifolds

技術的概要：射影非単則多様体の族に対する局所同型

問題の提示
本論文は、1977 年に Wehler が提起した、コンパクト複素多様体の族における点ごとの同型と局所同型の関係に関する問いに答えるものである。具体的には、複素多様体 $S$ 上の 2 つの滑らかなコンパクト複素多様体の族 $\pi: X \to S$ および $\pi': Y \to S$ について、ファイバーが点ごとに同型である（すなわち、任意の $s \in S$ に対して双正則写像 $f_s: Y_s \to X_s$ が存在する）場合、それらの族は局所的に同型であるか？という問題である。

先行研究は、複素トーラスや負の全純曲率を持つ多様体といった特定のケースについてはこれを確立していた。しかし、Meersseman によって任意の族に対する一般的な証明が試みられたものの、Kirschner によって構成された反例によって指摘された欠陥が見つかり、証明は不完全であった。これにより、弱められた予想（予想 1.2）が提起された：全純ベクトル場空間の次元 $s \to \dim H^0(Y_s, TY_s)$ が一定である場合、制限された族が局所的に同型となるような開稠密部分集合 $U \subset S$ は存在するか？

手法
著者である Mu-Lin Li は、特に射影非単則多様体の族に焦点を当てている。証明戦略は、Fujiki および Schumacher による構成を用いた、極付きケーラー多様体のモジュライ空間の理論に依存している。手法は以下の論理的ステップを経て進行する。

1. 位相的自明化とコホモロジー:
   ディスク $\Delta$ 上の滑らかな族について、そのような族が滑らかなファイバー束を形成するという事実を利用する。これにより、微分同相写像 $T: X \cong X_{t_1} \times \Delta$ の構成が可能となる。著者は、これらの微分同相写像の下でのコホモロジー類の挙動を分析し、微分同相群の同じ連結成分に属する微分同相写像はコホモロジー群上で同一の準同型を誘導することを指摘している（命題 2.4）。

2. 相対的極の存在:
   重要な技術的障壁は、族に全純的に変化する極（ケーラー類）を付与することである。

   • 補題 3.1 および 3.2: 著者は、コホモロジー類が底空間の非可算部分集合上で $(1,1)$ 類（または整数類）に制限される場合、そのファイバー上で望ましい類に制限されるような、全空間上の大域的線形束を構成できることを証明する。これは $(1,1)$ 類に関するレフシェッツの定理と、ディスクの解析的部分集合が全体でなければ非可算になり得ないという事実に依存している。
   • これにより、底空間のザリスキ開稠密部分集合上で、$X$ 上の相対的十分大線形束 $L$ と $Y$ 上の $\tilde{L}$ を構成できる。

3. モジュライ空間への写像:
   族に相対的極を付与したことで、これらは極付き射影非単則多様体の粗モジュライ空間 $\mathcal{M}$ への 2 つの全純写像 $f, f': U \to \mathcal{M}$ を定義する。

   • ファイバーの点ごとの同型は、ファイバー束の連結成分から導かれる非可算な点の集合上で、モジュライ空間に誘導される写像が一致することを意味する。
   • 補題 3.3: 複素解析の標準的な結果が援用される：全純凸領域から複素空間への 2 つの全純写像が非可算な点の集合上で一致する場合、それらは全域で同一である。したがって、モジュライ空間への写像は開集合 $U$ 全体で一致する。

4. 局所完全性とクルーニシ族:
   最終段階では、極付き非単則多様体に対するモジュライ関手が局所的に完全であるという性質（Fujiki および Schumacher に基づく命題 2.8）を利用する。

   • モジュライ空間への写像が同一であるため、族は同一の普遍（クルーニシ）族の局所的な引き戻しとなる。
   • モジュライ空間が粗モジュライ空間であるため、引き戻しの局所的な一意性（有限自己同型群の作用まで）は、射影と可換となるような制限された族 $X_U$ と $Y_U$ の間の双正則写像の存在を保証する。

主要な貢献と結果
本論文は定理 1.3を確立する：

$\pi: X \to S$ および $\pi': Y \to S$ をリーマン面 $S$ 上の 2 つの射影非単則多様体の滑らかな族とする。これら 2 つの族が点ごとに同型であると仮定する。このとき、制限された族が任意の点 $s \in U$ において局所的に同型となるような開稠密部分集合 $U \subset S$ が存在する。

この結果は、特に射影非単則多様体のクラスに対して、Wehler の問いに対する部分的な肯定回答を提供する。この特定のクラスについては、最終的な定理の記述において明示的に $\dim H^0(Y_s, TY_s)$ が一定であるという仮定を必要としない。なぜなら、非単則多様体の性質とモジュライ空間の構成が、開稠密集合上での局所同型の確立に十分であるからである。

意義
本論文は、複素多様体の変形理論における長年の問題の部分的な解決を主張する。対象範囲を射影非単則多様体に制限することで、著者は一般の場合に見つかった障害（Kirschner の反例によって示された）を回避することに成功している。この研究は、極付き非単則多様体に対する粗モジュライ空間の存在と、クルーニシ族の局所完全性の組み合わせが、点ごとの同型を開稠密集合上の局所同型へと昇華させるのに十分であることを示している。この結果は、コンパクト複素多様体の族の剛性を理解するための一歩として位置づけられている。