Local isomorphisms for families of projective non-unruled manifolds

Resumen Técnico: Isomorfismos Locales para Familias de Variedades Proyectivas No Unirregradas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una pregunta planteada por Wehler en 1977 sobre la relación entre el isomorfismo puntual y el isomorfismo local en familias de variedades complejas compactas. Específicamente, dadas dos familias suaves de variedades complejas compactas, $\pi: X \to S$ y $\pi': Y \to S$, sobre una variedad compleja $S$, si las fibras son isomorfas puntualmente (es decir, existe un biholomorfismo $f_s: Y_s \to X_s$ para cada $s \in S$), ¿son las familias localmente isomorfas?

Trabajos anteriores establecieron esto para casos específicos, como toros complejos y variedades con curvatura holomorfa negativa. Sin embargo, un intento de prueba general para familias arbitrarias realizado por Meersseman se encontró con lagunas, destacadas por un contraejemplo construido por Kirschner. Esto llevó a una conjetura debilitada (Conjetura 1.2): si la dimensión del espacio de campos vectoriales holomorfos, $s \to \dim H^0(Y_s, TY_s)$, es constante, ¿existe un subconjunto abierto denso $U \subset S$ donde las familias restringidas son localmente isomorfas?

Metodología
El autor, Mu-Lin Li, se centra específicamente en familias de variedades proyectivas no unirregradas. La estrategia de prueba se basa en la teoría de espacios de móduli para variedades de Kähler polarizadas, utilizando construcciones de Fujiki y Schumacher. La metodología procede a través de los siguientes pasos lógicos:

1. Trivialización Topológica y Cohomología:
   Para una familia suave sobre un disco $\Delta$, el artículo utiliza el hecho de que dicha familia forma un fibrado suave. Esto permite la construcción de difeomorfismos $T: X \cong X_{t_1} \times \Delta$. El autor analiza el comportamiento de las clases de cohomología bajo estos difeomorfismos, señalando que los difeomorfismos en la misma componente conexa del grupo de difeomorfismos inducen morfismos idénticos en los grupos de cohomología (Proposición 2.4).

2. Existencia de Polarizaciones Relativas:
   Un obstáculo técnico crítico es dotar a las familias de polarizaciones (clases de Kähler) que varíen holomórficamente.

   • Lema 3.1 y 3.2: El autor demuestra que si una clase de cohomología se restringe a una clase $(1,1)$ (o una clase integral) en un subconjunto no numerable de la base, se puede construir un fibrado lineal global sobre el espacio total cuya primera clase de Chern se restringe a la clase deseada en las fibras. Esto depende del teorema de Lefschetz sobre clases $(1,1)$ y del hecho de que los subconjuntos analíticos de un disco no pueden ser no numerables a menos que sean todo el disco.
   • Esto permite la construcción de fibrados lineales relativamente amplios $L$ en $X$ y $\tilde{L}$ en $Y$ sobre un subconjunto abierto denso de Zariski de la base.

3. Mapeo al Espacio de Móduli:
   Con las familias ahora dotadas de polarizaciones relativas, definen dos aplicaciones holomorfas, $f, f': U \to \mathcal{M}$, desde la base hacia el espacio de móduli grueso $\mathcal{M}$ de variedades proyectivas no unirregradas polarizadas.

   • El isomorfismo puntual de las fibras implica que las aplicaciones inducidas en el espacio de móduli coinciden en un conjunto no numerable de puntos (derivado de las componentes conexas del grupo de difeomorfismos).
   • Lema 3.3: Se invoca un resultado estándar en análisis complejo: si dos aplicaciones holomorfas desde un dominio holomórficamente convexo hacia un espacio complejo coinciden en un conjunto no numerable, son idénticas en todas partes. Por lo tanto, las aplicaciones al espacio de móduli coinciden en todo el conjunto abierto $U$.

4. Completitud Local y Familias de Kuranishi:
   El paso final utiliza la propiedad de que el funtor de móduli para variedades no unirregradas polarizadas es localmente completo (Proposición 2.8, basado en Fujiki y Schumacher).

   • Dado que las aplicaciones al espacio de móduli son idénticas, las familias son localmente pullbacks de la misma familia universal (de Kuranishi).
   • Debido a que el espacio de móduli es un espacio de móduli grueso, la unicidad local del pullback (salvo la acción de un grupo finito de automorfismos) asegura la existencia de un biholomorfismo entre las familias restringidas $X_U$ e $Y_U$ que conmuta con las proyecciones.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo establece el Teorema 1.3:

Sean $\pi: X \to S$ y $\pi': Y \to S$ dos familias suaves de variedades proyectivas no unirregradas sobre una superficie de Riemann $S$. Supongamos que estas dos familias son isomorfas puntualmente. Entonces existe un subconjunto abierto denso $U \subset S$ tal que las familias restringidas son localmente isomorfas en cada punto $s \in U$.

Este resultado proporciona una respuesta afirmativa parcial a la pregunta de Wehler, específicamente para la clase de variedades proyectivas no unirregradas. La prueba no requiere explícitamente la suposición de $\dim H^0(Y_s, TY_s)$ constante en la declaración final del teorema para esta clase específica, ya que las propiedades de las variedades no unirregradas y la construcción del espacio de móduli son suficientes para establecer el isomorfismo local en un conjunto abierto denso.

Significado
El artículo afirma resolver parcialmente un problema de larga data en la teoría de deformaciones de variedades complejas. Al restringir el alcance a variedades proyectivas no unirregradas, el autor logra eludir las obstrucciones encontradas en el caso general (como lo demuestra el contraejemplo de Kirschner). La obra demuestra que la existencia de un espacio de móduli grueso para variedades no unirregradas polarizadas, combinada con la completitud local de la familia de Kuranishi, es suficiente para elevar el isomorfismo puntual a isomorfismo local en un conjunto abierto denso. El resultado se enmarca como un paso hacia la comprensión de la rigidez de las familias de variedades complejas compactas.