Sensitivity analysis for causal mediation: bridge score, sharp sensitivity bounds, and calibration

Riepilogo Tecnico: Analisi di Sensibilità per la Mediazione Causale tramite Punteggio Ponte, Limiti Affilati e Calibrazione

1. Enunciato del Problema

L'analisi di mediazione causale scompone gli effetti totali del trattamento in effetti diretti naturali (NDE) ed effetti indiretti naturali (NIE). L'identificazione di questi effetti si basa tipicamente sull'assunzione di ignorabilità sequenziale, che richiede che il mediatore sia ignorabile dato il trattamento e le covariate di base. Tale assunzione non è verificabile; qualsiasi fattore non misurato che guidi congiuntamente il mediatore e l'esito la viola.

Sebbene esistano analisi di sensibilità per l'ignorabilità del mediatore, gli autori identificano tre sfide statistiche specifiche nella letteratura riguardo all'analisi di sensibilità non parametrica sulla scala additiva (differenza di media), che è la scala più comune nella ricerca scientifica:

1. Interpretabilità vs. Localizzazione: I parametri scalari esistenti (ad esempio, le correlazioni residue) collassano le violazioni che variano tra i bracci di trattamento e i profili di covariate. Al contrario, le funzioni di sensibilità completamente localizzate sono difficili da elicita e calibrare in contesti di covariate ad alta dimensionalità. Manca una riduzione generale a bassa dimensionalità che preservi le informazioni sul mediatore senza richiedere una specifica completa delle covariate.
2. Mancanza di Limiti Additivi Affilati: Esistono limiti non parametrici affilati per la scala del rapporto di rischio (adatti per esiti binari), ma non è disponibile un analogo involucro additivo (differenza di media) affilato. Gli approcci additivi esistenti si basano su formule di bias parametriche restrittive o su limiti di tipo Manski non informativi.
3. Calibrazione Fragile: La calibrazione operativa per benchmark continui dipende spesso da unità arbitrarie o larghezze di supporto. Inoltre, i riassunti coerenti con la scala (come i valori E) collassano la struttura a due parametri del limite in un singolo scalare, perdendo interpretabilità.

2. Metodologia

Il Punteggio Ponte
Gli autori introducono il punteggio ponte, un vettore bidimensionale definito su un valore comune del mediatore $m$ e una covariata $x$:
$$B(m, x) = (f_0(m | x), f_1(m | x))$$
dove $f_a(m|x)$ è la densità del mediatore sotto il braccio di trattamento $a$.

• Proprietà di Bilanciamento: Condizionato al punteggio ponte $B(m)$, le covariate osservate $X$ sono bilanciate rispetto all'evento del mediatore $M=m$. Ciò permette al punteggio ponte di fungere da punteggio di bilanciamento per la fase del mediatore, analogamente al punteggio di propensione per l'assegnazione del trattamento.
• Riduzione della Dimensionalità: Il punteggio ponte riduce l'oggetto di sensibilità da una funzione del vettore completo delle covariate $X$ a una funzione del punteggio a bassa dimensionalità $B(m)$, mantenendo le leggi specifiche del braccio sul mediatore necessarie per l'identificazione tra mondi.

Limiti di Sensibilità Affilati
Gli autori definiscono la funzione di sensibilità del punteggio ponte $\Delta_a(m, b)$ come il confondimento residuo indotto dal condizionamento sul mediatore osservato all'interno del braccio $a$, dopo aver condizionato al punteggio ponte.
Sotto un'assunzione di un confondente scalare latente ($U$), derivano un involucro additivo puntuale affilato per $\Delta_a(m, b)$:
$$|\Delta_a(m, b)| \leq \Xi_a(m, b) = \eta_a(m, b) \frac{\gamma_a(m, b) - 1}{\gamma_a(m, b)}$$
dove:

• $\gamma_a(m, b)$ è il rapporto di selezione residuo, che misura l'inclinazione nella distribuzione del confondente latente indotta dal condizionamento su $M=m$.
• $\eta_a(m, b)$ è il parametro di intervallo dell'esito, che misura la dispersione della media dell'esito condizionata al confondente latente all'interno dello strato del punteggio ponte.

Gli autori dimostrano che questi parametri a livello del punteggio ponte non sono più grandi (più stretti) dei loro corrispettivi a livello delle covariate complete, a condizione che siano soddisfatte determinate condizioni di disaccoppiamento.

Approcci di Calibrazione
Per rendere operativi i limiti, vengono proposte due strategie di calibrazione:

1. Calibrazione su Benchmark: Il confondente latente viene calibrato contro una covariata osservata $W$. Gli autori introducono una versione basata sui ranghi di questa calibrazione. Trasformando $W$ nel suo rango frazionario, l'involucro risultante diventa invariante rispetto a rielaborazioni monotone del benchmark e robusto rispetto a distribuzioni a code pesanti, preservando al contempo la struttura a due parametri ($\eta, \gamma$).
2. Calibrazione del Budget Residuo: Questo approccio scala il parametro di intervallo dell'esito $\eta_a$ in base alla variazione residua dell'esito dopo l'aggiustamento per il mediatore e il punteggio ponte. Un parametro specificato dall'utente $k_a \in [0,1]$ controlla la quota di varianza residua attribuita al confondimento latente, mentre un valore di griglia $g_a$ controlla il rapporto di selezione.

Algoritmo di Inferenza
Il quadro teorico è operazionalizzato tramite un algoritmo bayesiano di g-computazione. Questo approccio:

• Propaga l'incertezza dal modello dei dati osservati (densità del mediatore e regressioni dell'esito).
• Incorpora l'incertezza dalle quantità di calibrazione (benchmark o budget residuo).
• Utilizza una riduzione funzionale scalare per collassare la funzione di sensibilità a dimensione infinita in scalari specifici per braccio ($\bar{\Delta}_0, \bar{\Delta}_1$), permettendo prior a dimensione finita sulle correzioni di sensibilità.
• Genera estrazioni posteriori per NDE e NIE che tengono pienamente conto di tutte le fonti di incertezza.

3. Contributi Chiave

1. Concetto di Punteggio Ponte: Un vettore a bassa dimensionalità innovativo che bilancia le covariate rispetto al mediatore e funge da scala di localizzazione per le funzioni di sensibilità, evitando la necessità di una specifica completa delle covariate.
2. Limite Additivo Affilato: La derivazione di un involucro additivo non parametrico affilato per il confondimento mediatore-esito, parametrizzato da parametri interpretabili di selezione residua e intervallo dell'esito. Questo colma il vuoto lasciato dai limiti basati sul rapporto di rischio, che sono meno naturali per esiti continui.
3. Calibrazione Coerente con la Scala: L'introduzione di una calibrazione su benchmark basata sui ranghi, invariante rispetto alle trasformazioni monotone e che preserva la struttura a due parametri del limite, affiancata da un approccio basato sul budget residuo.
4. Inferenza Operativa: Un'implementazione bayesiana di g-computazione che integra l'analisi di sensibilità direttamente nella stima degli effetti naturali, propagando l'incertezza dai parametri di disturbo e dalle correzioni di sensibilità.

4. Risultati e Illustrazione

Il documento illustra il quadro teorico utilizzando l'esperimento sul framing dell'immigrazione di Brader et al. (2008).

• Setup: Il trattamento ($A$) è un tono negativo/framing latino; il Mediatore ($M$) è la risposta emotiva negativa; l'Esito ($Y$) è il danno percepito dall'immigrazione.
• Risultati:
  • La calibrazione su benchmark basata sui ranghi ha prodotto involucri più stretti rispetto alla versione su scala grezza, dimostrando la stabilità della trasformazione dei ranghi rispetto alla larghezza empirica del supporto.
  • La calibrazione del budget residuo ha mostrato che l'involucro si allarga monotonicamente con l'aumento della forza di selezione ($g$) e del budget dell'intervallo dell'esito ($k$).
  • L'analisi ha dimostrato che le conclusioni sulla robustezza sono guidate da fattori di amplificazione interpretabili (ad esempio, "il confondente latente è 1,5 volte più forte del reddito") piuttosto che da parametri di modello opachi.
  • La g-computazione bayesiana ha propagato con successo l'incertezza dalla stima del punteggio ponte e dalla calibrazione nelle distribuzioni posteriori di NDE e NIE.

5. Significato e Affermazioni

Gli autori posizionano questo lavoro come uno strumento complementare piuttosto che una sostituzione per i metodi esistenti come l'analisi parametrica basata su $\rho$ (Imai et al., 2010) o i limiti basati sul rapporto di rischio (Ding e VanderWeele, 2016).

Il significato del quadro teorico risiede nella sua capacità di:

• Fornire un'analisi di sensibilità non parametrica sulla scala additiva senza imporre restrizioni sulla forma funzionale dell'esito o del mediatore.
• Offrire parametri di sensibilità interpretabili localizzati al punteggio ponte, permettendo limiti più stretti rispetto alle specifiche complete delle covariate.
• Abilitare una calibrazione coerente con la scala che evita le insidie della dipendenza dall'unità e del collasso scalare presenti in altri metodi.
• Facilitare la propagazione dell'incertezza in un quadro bayesiano unificato, andando oltre le stime puntuali per arrivare a un'inferenza posteriore completa sotto assunzioni di sensibilità.

Il documento conclude che il quadro del punteggio ponte fornisce una riduzione a bassa dimensionalità principiale per l'analisi di sensibilità, particolarmente pratica quando le covariate di base sono moderatamente ad alta dimensionalità, mantenendo al contempo l'asimmetria strutturale richiesta per la stima degli effetti naturali tra mondi.