Sensitivity analysis for causal mediation: bridge score, sharp sensitivity bounds, and calibration

Technische Samenvatting: Sensitiviteitsanalyse voor Causale Mediatie via de Bridge Score, Scherpere Grenzen en Kalibratie

1. Probleemstelling

Causale mediatieanalyse splitst totale behandelingseffecten op in natuurlijke directe effecten (NDE) en natuurlijke indirecte effecten (NIE). De identificatie van deze effecten berust doorgaans op de aanname van sequentiële onafhankelijkheid, die vereist dat de mediator onafhankelijk is gegeven de behandeling en baseline covariaten. Deze aanname is niet toetsbaar; elke niet-gemeten factor die gezamenlijk de mediator en het uitkomstvariabele aandrijft, schendt deze aanname.

Hoewel er sensitiviteitsanalyses bestaan voor de onafhankelijkheid van de mediator, identificeren de auteurs drie specifieke statistische uitdagingen in de literatuur met betrekking tot niet-parametrische sensitiviteitsanalyse op de additieve schaal (gemiddeld verschil), wat de meest gebruikelijke schaal is in wetenschappelijk onderzoek:

1. Interpreteerbaarheid versus Lokalisatie: Bestaande scalaire parameters (bijvoorbeeld residuale correlaties) laten schendingen die variëren over behandelingsarmen en covariatenprofielen samenvallen. Omgekeerd zijn volledig gelokaliseerde sensitiviteitsfuncties moeilijk te eliciteren en te kalibreren in settings met hoogdimensionale covariaten. Er ontbreekt een algemene reductie naar lage dimensies die mediatorinformatie behoudt zonder volledige specificatie van covariaten te vereisen.
2. Gebrek aan Scherpe Additieve Grenzen: Scherpe niet-parametrische grenzen bestaan voor de risicoverhoudingsschaal (geschikt voor binaire uitkomsten), maar er is geen analoog scherp additief (gemiddeld verschil) omhulsel beschikbaar. Bestaande additieve benaderingen vertrouwen op restrictieve parametrische biasformules of niet-informatieve Manski-stijl grenzen.
3. Fragiele Kalibratie: Operationele kalibratie voor continue benchmarks hangt vaak af van willekeurige eenheden of steunbreedtes. Bovendien collapse schaal-coherente samenvattingen (zoals E-waarden) de tweedimensionale structuur van de grens tot een enkele scalair, waardoor de interpreteerbaarheid verloren gaat.

2. Methodologie

De Bridge Score
De auteurs introduceren de bridge score, een tweedimensionale vector gedefinieerd bij een gemeenschappelijke mediatorwaarde $m$ en covariabele $x$:
$$B(m, x) = (f_0(m | x), f_1(m | x))$$
waarbij $f_a(m|x)$ de dichtheid van de mediator is onder behandelingsarm $a$.

• Balans Eigenschap: Voorwaardelijk op de bridge score $B(m)$ zijn de waargenomen covariaten $X$ gebalanceerd met betrekking tot de mediatorgebeurtenis $M=m$. Dit stelt de bridge score in staat om te fungeren als een balansscore voor het mediatorstadium, analoog aan de propensity score voor toewijzing van de behandeling.
• Dimensiereductie: De bridge score reduceert het sensitiviteitsobject van een functie van de volledige covariatenvector $X$ tot een functie van de laagdimensionale score $B(m)$, terwijl de arm-specifieke mediatorwetten die noodzakelijk zijn voor identificatie over wereldwijken behouden blijven.

Scherpe Sensitiviteitsgrenzen
De auteurs definiëren de bridge score sensitiviteitsfunctie $\Delta_a(m, b)$ als de residuale verwarring die wordt veroorzaakt door het conditioneren op de waargenomen mediator binnen arm $a$, na conditionering op de bridge score.
Onder een aanname van een latente scalaire verwarrende factor ($U$) leiden ze een scherpe puntsgewijze additieve omhulling af voor $\Delta_a(m, b)$:
$$|\Delta_a(m, b)| \leq \Xi_a(m, b) = \eta_a(m, b) \frac{\gamma_a(m, b) - 1}{\gamma_a(m, b)}$$
waarbij:

• $\gamma_a(m, b)$ de residuale selectieverhouding is, die de helling in de verdeling van de latente verwarrende factor meet die wordt veroorzaakt door conditionering op $M=m$.
• $\eta_a(m, b)$ de uitkomstbereikparameter is, die de spreiding van het uitkomstgemiddelde meet voorwaardelijk op de latente verwarrende factor binnen de bridge score-stratum.

De auteurs bewijzen dat deze parameters op het niveau van de bridge score niet groter zijn (strakker) dan hun tegenhangers op het niveau van de volledige covariaten, mits bepaalde ontkoppelingsvoorwaarden gelden.

Kalibratiebenaderingen
Om de grenzen operationeel te maken, worden twee kalibratiestrategieën voorgesteld:

1. Benchmark Kalibratie: De latente verwarrende factor wordt gekalibreerd tegen een waargenomen covariabele $W$. De auteurs introduceren een ranggebaseerde versie van deze kalibratie. Door $W$ te transformeren naar zijn fractionele rang, wordt het resulterende omhulsel invariant ten opzichte van monotoon heruitdrukken van de benchmark en robuust ten opzichte van zwaarstaartverdelingen, terwijl de tweedimensionale structuur ($\eta, \gamma$) behouden blijft.
2. Residuaal Budget Kalibratie: Deze benadering schaalt de uitkomstbereikparameter $\eta_a$ op basis van de residuale variatie van de uitkomst na correctie voor de mediator en de bridge score. Een door de gebruiker opgegeven parameter $k_a \in [0,1]$ controleert het aandeel van de residuale variantie dat wordt toegeschreven aan latente verwarring, terwijl een gridwaarde $g_a$ de selectieverhouding controleert.

Inferentie-algoritme
Het kader wordt operationeel gemaakt via een Bayesiaanse g-computatie-algoritme. Deze aanpak:

• Propageert onzekerheid vanuit het model voor de waargenomen data (mediatordichtheden en uitkomstregressies).
• Integreert onzekerheid vanuit de kalibratiegrootheden (benchmark of residuaal budget).
• Gebruikt een scalaire functionele reductie om de oneindigdimensionale sensitiviteitsfunctie te collapse tot arm-specifieke scalairen ($\bar{\Delta}_0, \bar{\Delta}_1$), wat toelaat tot eindigdimensionale priors op de sensitiviteitscorrecties.
• Genereert posterior trekkingen voor de NDE en NIE die volledig rekening houden met alle bronnen van onzekerheid.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Bridge Score Concept: Een nieuw laagdimensionaal vector dat covariaten balanceert met betrekking tot de mediator en dient als de lokalisatieschaal voor sensitiviteitsfuncties, waardoor de noodzaak voor volledige specificatie van covariaten wordt vermeden.
2. Scherpe Additieve Grens: De afleiding van een scherpe, niet-parametrische additieve omhulling voor verwarring tussen mediator en uitkomst, geparametriseerd door interpreteerbare residuale selectie- en uitkomstbereikparameters. Dit vult het gat dat door risicoverhoudingsgrenzen wordt gelaten, die minder natuurlijk zijn voor continue uitkomsten.
3. Schaal-coherente Kalibratie: De introductie van ranggebaseerde benchmarkkalibratie die invariant is ten opzichte van monotoon transformaties en de tweedimensionale structuur van de grens behoudt, naast een residuaal budget-benadering.
4. Operationele Inferentie: Een Bayesiaanse g-computatie-implementatie die sensitiviteitsanalyse direct integreert in de schatting van natuurlijke effecten, waarbij onzekerheid van storende parameters en sensitiviteitscorrecties wordt gepropageerd.

4. Resultaten en Illustratie

Het artikel illustreert het kader met behulp van het immigratie-framingexperiment van Brader et al. (2008).

• Opzet: Behandeling ($A$) is een negatieve toon/Latino framing; Mediator ($M$) is een negatieve emotionele respons; Uitkomst ($Y$) is waargenomen schade door immigratie.
• Vondsten:
  • De ranggebaseerde benchmarkkalibratie leverde strakkere omhulsels op dan de versie op de ruwe schaal, wat de stabiliteit van de rangtransformatie tegen empirische steunbreedte aantoont.
  • De residuaal budgetkalibratie toonde aan dat het omhulsel monotoon verbreedt met een toename van de selectiesterkte ($g$) en het uitkomstbereikbudget ($k$).
  • De analyse toonde aan dat robuustheidsconclusies worden gedreven door interpreteerbare versterkingsfactoren (bijvoorbeeld "latente verwarrende factor is 1,5x sterker dan inkomen") in plaats van ondoorzichtige modelparameters.
  • De Bayesiaanse g-computatie slaagde erin om onzekerheid vanuit de schatting van de bridge score en kalibratie te propageren naar de posteriorverdelingen van de NDE en NIE.

5. Betekenis en Claims

De auteurs positioneren dit werk als een aanvullend hulpmiddel in plaats van een vervanging voor bestaande methoden zoals de parametrische op $\rho$ gebaseerde analyse (Imai et al., 2010) of risicoverhoudingsgrenzen (Ding en VanderWeele, 2016).

De betekenis van het kader ligt in het vermogen om:

• Een niet-parametrische sensitiviteitsanalyse op de additieve schaal te bieden zonder functionele vormrestricties op de uitkomst of mediator op te leggen.
• Interpreteerbare sensitiviteitsparameters aan te bieden die gelokaliseerd zijn op de bridge score, waardoor strakkere grenzen mogelijk zijn dan bij volledige covariatenpecificaties.
• Schaal-coherente kalibratie mogelijk te maken die de valkuilen van eenheidsafhankelijkheid en scalaire collapse vermijdt die in andere methoden voorkomen.
• Onzekerheidspropagatie te faciliteren in een unificerend Bayesiaans kader, verdergaand dan punt-schattingen naar volledige posterior-inferentie onder sensitiviteitsaannames.

Het artikel concludeert dat het bridge score-kader een principiële, laagdimensionale reductie biedt voor sensitiviteitsanalyse die bijzonder praktisch is wanneer baseline covariaten matig hoogdimensionaal zijn, terwijl het de structurele asymmetrie behoudt die vereist is voor schatting van natuurlijke effecten over wereldwijken.