High-Precision Approximation of Riemann Zeros via the Truncated Weil Form

Riepilogo Tecnico: Approssimazione ad Alta Precisione degli Zeri di Riemann tramite la Forma di Weil Troncata

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta una questione aperta nell'ambito dell'interpretazione spettrale dell'Ipotesi di Riemann (IR) proposta da Alain Connes e collaboratori. Nello specifico, esamina la convergenza degli zeri dello stato fondamentale della forma quadratica di Weil troncata verso gli effettivi zeri di Riemann al tendere del parametro di taglio $c$ (che controlla i primi $p \le c$) all'infinito. Sebbene Connes–van Suijlekom (2025) abbiano dimostrato che tali zeri giacciono sulla retta critica per ogni $c$ finito, la convergenza verso i veri zeri di Riemann al limite $c \to \infty$ rimane non dimostrata. Prima di questo lavoro, non esisteva alcuna implementazione pubblica indipendente della matrice di Galerkin di Connes–van Suijlekom, né alcuna riproduzione indipendente dei dati numerici riportati da Connes (2026) o da Connes–Consani–Moscovici (2025).

Metodologia
L'autore presenta un'implementazione numerica ad alta precisione della matrice di Galerkin della Proposizione 4.1 di Connes–van Suijlekom, utilizzando Python e la libreria mpmath per l'aritmetica a precisione arbitraria.

• Costruzione dell'Operatore: L'implementazione costruisce la proiezione del settore pari della forma quadratica di Weil troncata su $L^2([0, \log c])$. Gli elementi della matrice sono derivati da un nucleo che coinvolge il moltiplicatore di Mellin archimedeo (che include la funzione digamma) e una somma finita sui primi $p \le c$.
• Equivalenza Unitaria: Il lavoro stabilisce che la matrice implementata è unitariamente equivalente alla matrice definita nel Lemma 5.1 di Connes–Consani–Moscovici (2025), confermando che il calcolo mira allo stesso oggetto spettrale.
• Strategia Numerica:
  • Precisione: I calcoli utilizzano fino a 1000 cifre decimali (dps) per evitare i limiti degli errori inversi, con scansioni specifiche a dps=500 e dps=1000.
  • Quadratura: Viene utilizzata una quadratura adattiva tanh–sinh per l'integrale archimedeo, con un taglio $T=800$ verificato per la convergenza.
  • Estrazione degli Autovalori: Viene calcolato il più piccolo autovalore positivo ($\lambda_{\min}^{even}$) della matrice del settore pari. Il corrispondente autovettore è utilizzato per estrarre gli zeri di Riemann ($\gamma_k$) tramite la trasformata di Fourier–Mellin dello stato fondamentale.
  • Validazione: Lo studio include una cross-validazione rispetto ai valori pubblicati per $c=13$ e $c=14$, e un test fuori campione a $c=100$ con una scansione delle dimensioni della base $N \in \{100, 150, 200, 250\}$.

Contributi Chiave

1. Prima Implementazione Indipendente: Questa è la prima riproduzione pubblica e indipendente della matrice di Galerkin di Connes–van Suijlekom. Riproduce l'errore del primo zero per $c=13$ entro un fattore di 1,3 rispetto ai valori riportati da Connes (2026) e Connes–Consani–Moscovici (2025).
2. Scansione Numerica Estesa: Lo studio estende le misurazioni a quindici tagli ($c=13$ fino a $67$) e a un sedicesimo taglio a $c=100$. Attraverso la finestra in campione ($c \le 67$) a $N=100$, l'errore assoluto $|\gamma_1 - \gamma_{\text{Riemann}}|$ diminuisce monotonicamente da $\sim 2 \times 10^{-55}$ a $\sim 1.5 \times 10^{-168}$, coprendo 113 ordini di grandezza.
3. Test Fuori Campione a $c=100$: A $c=100$, l'autore esegue una scansione di $N$ per testare il comportamento di convergenza. Utilizzando l'estrapolazione di Aitken-$\Delta^2$ sulla sequenza dei più piccoli autovalori positivi, il limite stimato $\log_{10}|\lambda_{\min}^{even}(\infty)|$ risulta essere approssimativamente tra $-533.7$e$-536.8$. Questo si avvicina alla previsione euristica del continuo di Connes (2026) ($\approx -530.4$) con scarti di 3,3-6,4 ordini di grandezza, fornendo coerenza empirica con l'euristica teorica.
4. Caratterizzazione Strutturale: Il lavoro identifica diverse proprietà strutturali dell'operatore a $N$ finito:
   • Invarianza degli Autovettori: Nonostante gli autovalori varino di 113 ordini di grandezza, gli autovettori dello stato fondamentale attraverso diversi tagli mostrano un'alta sovrapposizione ($>0,95$), suggerendo un'approssimata invarianza rispetto a $c$.
   • Tassi di Convergenza: Tutti i dieci zeri rilevabili ($\gamma_1$ fino a $\gamma_{10}$) convergono a tassi entro il 3,8% l'uno dall'altro.
   • Regolarità di Sobolev: Viene identificato un esponente empirico di convergenza di Galerkin $s(c) \approx 55 \log c - 128$, che suggerisce una regolarità crescente con $c$.
   • Statistiche di Massa: Lo spettro di massa (escluso lo stato fondamentale) segue statistiche di Poisson ($\beta < 0,05$), indicando assenza di repulsione dei livelli; gli autori notano che questo è un diagnostico strutturale dell'operatore troncato e non un test della congettura di Montgomery (che si applica agli zeri localmente ridimensionati).
5. Estensione alle Funzioni L di Dirichlet: Una porting preliminare a $L(s, \chi_3)$ rivela una rottura oscillante della positività a tagli specifici ($c=23, 29$), in contrasto con la positività stabile osservata nel caso della funzione zeta di Riemann per $c \le 67$.

Risultati e Dati

• Riduzione dell'Errore: A $c=100, N=250, \text{dps}=500$, l'estrazione dei primi dieci zeri di Riemann raggiunge 307-329 cifre coincidenti.
• Falsificazione di Modelli Semplici: Otto modelli di convergenza liscia a due parametri (lineari, quadratici, esponenziali in $L$ o $\pi(c)$) sono stati testati e respinti. Anche un modello log-periodico a cinque parametri è stato falsificato fuori campione a $c=53$.
• $N$ Finito vs Continuo: L'adattamento empirico $|\log_{10} \lambda| \approx 13.24 c^{0.634}$ derivato dai dati per $c \le 67$ è mostrato essere un tasso a $N$ finito, non l'asintoto del continuo. Viene falsificato a $c=100$ da una deviazione di 49 ordini di grandezza nella direzione di un decadimento più rapido.
• Autovalori Negativi: A $c=100$, la matrice grezza a $N$ finito contiene un piccolo blocco di autovalori a segno negativo. L'autore riporta il più piccolo autovalore positivo come un ramo empiricamente stabile, notando che l'identificazione di questo ramo con lo stato fondamentale teorico è condizionata alla natura di questi valori negativi (probabilmente artefatti guidati dalle condizioni).

Affermazioni e Significato
Il lavoro non afferma esplicitamente di dimostrare l'Ipotesi di Riemann o di validare la congettura di convergenza di Connes.

• Natura del Contributo: Il lavoro è presentato come "matematica sperimentale" che fornisce dati numerici riproducibili e un'attenta interpretazione nell'ambito esistente di Connes–van Suijlekom/Connes–Consani–Moscovici.
• Coerenza, non Dimostrazione: L'accordo tra l'estrapolazione di Aitken a $c=100$ e l'euristica di Connes (2026) è riportato come un test di coerenza empirica, non come un teorema. L'autore sottolinea che l'accelerazione di Aitken si basa su assunzioni riguardo alla forma locale della sequenza di convergenza.
• Stato dell'Ipotesi: L'applicazione del Teorema 1.1 di Connes–Consani–Moscovici ai dati a $c=100$ è trattata con una "clausola di stato ipotetico" a causa della presenza di autovalori negativi nella matrice grezza, che non si assume esistano nel limite del continuo.
• Significato: Il significato primario risiede nel fornire la prima verifica numerica indipendente e ad alta precisione del quadro di Connes–van Suijlekom, estendendo la gamma dei tagli testati e caratterizzando il comportamento strutturale (stabilità degli autovettori, tassi di convergenza e statistiche spettrali) dell'operatore troncato. I dati vincolano il lavoro teorico quantificando gli effetti a $N$ finito e dimostrando che modelli lisci semplici non possono catturare il comportamento di convergenza nell'intervallo misurato.