High-Precision Approximation of Riemann Zeros via the Truncated Weil Form

Resumen Técnico: Aproximación de Alta Precisión de los Ceros de Riemann mediante la Forma Cuadrática de Weil Truncada

Enunciado del Problema
El artículo aborda una cuestión abierta dentro de la interpretación espectral de la Hipótesis de Riemann (HR) propuesta por Alain Connes y colaboradores. Específicamente, investiga la convergencia de los ceros del estado fundamental de la forma cuadrática de Weil truncada hacia los ceros reales de Riemann a medida que el parámetro de corte $c$ (que controla los primos $p \le c$) tiende a infinito. Mientras que Connes–van Suijlekom (2025) demostró que estos ceros se encuentran en la línea crítica para cualquier $c$ finito, la convergencia hacia los verdaderos ceros de Riemann a medida que $c \to \infty$ permanece sin demostrar. Antes de este trabajo, no existía ninguna implementación pública independiente de la matriz de Galerkin de Connes–van Suijlekom, ni ninguna reproducción independiente de los datos numéricos reportados por Connes (2026) o Connes–Consani–Moscovici (2025) había sido publicada.

Metodología
El autor presenta una implementación numérica de alta precisión de la matriz de Galerkin de la Proposición 4.1 de Connes–van Suijlekom utilizando Python y la biblioteca mpmath para aritmética de precisión arbitraria.

• Construcción del Operador: La implementación construye la proyección del sector par de la forma cuadrática de Weil truncada en $L^2([0, \log c])$. Los elementos de la matriz se derivan de un núcleo que involucra el multiplicador de Mellin arquimediano (que incluye la función digamma) y una suma finita sobre primos $p \le c$.
• Equivalencia Unitaria: El artículo establece que la matriz implementada es unitariamente equivalente a la matriz definida en el Lema 5.1 de Connes–Consani–Moscovici (2025), confirmando que el cálculo apunta al mismo objeto espectral.
• Estrategia Numérica:
  • Precisión: Los cálculos utilizan hasta 1000 dígitos decimales (dps) para evitar los límites de error inverso, con barridos específicos en dps=500 y dps=1000.
  • Cuantificación: Se utiliza una cuadratura adaptativa tanh–sinh para la integral arquimediana, con un corte $T=800$ verificado para la convergencia.
  • Extracción de Valores Propios: Se calcula el valor propio positivo más pequeño ($\lambda_{\min}^{even}$) de la matriz del sector par. El vector propio correspondiente se utiliza para extraer los ceros de Riemann ($\gamma_k$) mediante la transformada de Fourier–Mellin del estado fundamental.
  • Validación: El estudio incluye una validación cruzada contra valores publicados en $c=13$ y $c=14$, y una prueba fuera de la muestra en $c=100$ con un barrido de tamaños de base $N \in \{100, 150, 200, 250\}$.

Contribuciones Clave

1. Primera Implementación Independiente: Esta es la primera reproducción pública e independiente de la matriz de Galerkin de Connes–van Suijlekom. Reproduce el error del primer cero en $c=13$ dentro de un factor de 1.3 de los valores reportados por Connes (2026) y Connes–Consani–Moscovici (2025).
2. Barrido Numérico Extendido: El estudio extiende las mediciones a quince cortes ($c=13$ hasta $67$) y un decimosexto corte en $c=100$. A través de la ventana dentro de la muestra ($c \le 67$) en $N=100$, el error absoluto $|\gamma_1 - \gamma_{\text{Riemann}}|$ disminuye monótonamente desde $\sim 2 \times 10^{-55}$ hasta $\sim 1.5 \times 10^{-168}$, abarcando 113 órdenes de magnitud.
3. Prueba Fuera de la Muestra en $c=100$: En $c=100$, el autor realiza un barrido de $N$ para probar el comportamiento de convergencia. Utilizando la extrapolación de Aitken-$\Delta^2$ sobre la secuencia de valores propios positivos más pequeños, se encuentra que el límite estimado $\log_{10}|\lambda_{\min}^{even}(\infty)|$ es aproximadamente de $-533.7$a$-536.8$. Esto se acerca a la predicción heurística del continuo de Connes (2026) ($\approx -530.4$) con brechas de 3.3 a 6.4 órdenes de magnitud, proporcionando consistencia empírica con la heurística teórica.
4. Caracterización Estructural: El artículo identifica varias propiedades estructurales del operador de $N$ finito:
   • Invarianza del Vector Propio: A pesar de que los valores propios varían en 113 órdenes de magnitud, los vectores propios del estado fundamental a través de diferentes cortes exhiben una alta superposición ($>0.95$), sugiriendo una invarianza aproximada respecto a $c$.
   • Tasas de Convergencia: Los diez ceros detectables ($\gamma_1$ hasta $\gamma_{10}$) convergen a tasas dentro del 3.8% entre sí.
   • Regularidad de Sobolev: Se identifica un exponente de convergencia de Galerkin empírico $s(c) \approx 55 \log c - 128$, sugiriendo una regularidad creciente con $c$.
   • Estadísticas del Volumen: El espectro del volumen (excluyendo el estado fundamental) sigue estadísticas de Poisson ($\beta < 0.05$), indicando ausencia de repulsión de niveles, lo cual los autores notan es un diagnóstico estructural del operador truncado y no una prueba de la conjetura de Montgomery (que se aplica a ceros localmente reescalados).
5. Extensión a Funciones L de Dirichlet: Un puerto preliminar a $L(s, \chi_3)$ revela una ruptura oscilante de la positividad en cortes específicos ($c=23, 29$), en contraste con la positividad estable observada en el caso de la función zeta de Riemann para $c \le 67$.

Resultados y Datos

• Reducción del Error: En $c=100, N=250, \text{dps}=500$, la extracción de los primeros diez ceros de Riemann logra 307–329 dígitos coincidentes.
• Falsación de Modelos Simples: Se probaron y rechazaron ocho modelos de convergencia suave de dos parámetros (lineal, cuadrático, exponencial en $L$ o $\pi(c)$). Un modelo log-periódico de cinco parámetros también fue falsado fuera de la muestra en $c=53$.
• $N$ Finito vs. Continuo: Se demuestra que el ajuste empírico $|\log_{10} \lambda| \approx 13.24 c^{0.634}$ derivado de datos con $c \le 67$ es una tasa de $N$ finito, no la asíntota del continuo. Es falsado en $c=100$ por una desviación de 49 órdenes de magnitud en la dirección de un decaimiento más rápido.
• Valores Propios Negativos: En $c=100$, la matriz cruda de $N$ finito contiene un pequeño bloque de valores propios de signo negativo. El autor reporta el valor propio positivo más pequeño como una rama empíricamente estable, notando que la identificación de esta rama con el estado fundamental teórico es condicional a la naturaleza de estos valores negativos (probablemente artefactos impulsados por condiciones).

Afirmaciones y Significado
El artículo explícitamente no afirma probar la Hipótesis de Riemann ni validar la conjetura de convergencia de Connes.

• Naturaleza de la Contribución: El trabajo se presenta como "matemática experimental" que proporciona datos numéricos reproducibles e interpretación cuidadosa bajo el marco existente de Connes–van Suijlekom/Connes–Consani–Moscovici.
• Consistencia, no Prueba: El acuerdo entre la extrapolación de Aitken en $c=100$ y la heurística de Connes (2026) se reporta como una prueba de consistencia empírica, no como un teorema. El autor enfatiza que la aceleración de Aitken depende de suposiciones sobre la forma local de la secuencia de convergencia.
• Estado de la Hipótesis: La aplicación del Teorema 1.1 de Connes–Consani–Moscovici a los datos de $c=100$ se trata con una "salvedad de estado de hipótesis" debido a la presencia de valores propios negativos en la matriz cruda, los cuales no se asume que existan en el límite continuo.
• Significado: El significado principal radica en proporcionar la primera verificación numérica independiente y de alta precisión del marco de Connes–van Suijlekom, extender el rango de cortes probados y caracterizar el comportamiento estructural (estabilidad de vectores propios, tasas de convergencia y estadísticas espectrales) del operador truncado. Los datos restringen el trabajo teórico cuantificando los efectos de $N$ finito y demostrando que los modelos suaves simples no pueden capturar el comportamiento de convergencia en el rango medido.