High-Precision Approximation of Riemann Zeros via the Truncated Weil Form

Technische Samenvatting: Hoogprecisie Benadering van Riemann-nulwaarden via de Afgeknotte Weil-vorm

Probleemstelling
Het artikel behandelt een open vraag binnen de spectrale interpretatie van de Riemann-hypothese (RH) die is voorgesteld door Alain Connes en medewerkers. Specifiek onderzoekt het de convergentie van de nulwaarden van de grondtoestand van de afgeknotte Weil-kwadratische vorm naar de werkelijke Riemann-nulwaarden naarmate de afsnijparameter $c$ (die de priemgetallen $p \le c$ beheerst) naar oneindig gaat. Hoewel Connes–van Suijlekom (2025) bewezen hebben dat deze nulwaarden voor elke eindige $c$ op de kritieke lijn liggen, blijft de convergentie naar de ware Riemann-nulwaarden als $c \to \infty$ onbewezen. Voorafgaand aan dit werk bestond er geen onafhankelijke publieke implementatie van de Galerkin-matrix van Connes–van Suijlekom, en was er geen onafhankelijke reproductie van de numerieke data gerapporteerd door Connes (2026) of Connes–Consani–Moscovici (2025) gepubliceerd.

Methodologie
De auteur presenteert een hoogprecisie numerieke implementatie van de Galerkin-matrix uit Proposition 4.1 van Connes–van Suijlekom, gebruikmakend van Python en de bibliotheek mpmath voor rekenen met willekeurige precisie.

• Operatorconstructie: De implementatie construeert de projectie van het even-sectordomein van de afgeknotte Weil-kwadratische vorm op $L^2([0, \log c])$. De matrixelementen zijn afgeleid van een kern die de archimedische Mellin-vermenigvuldiger (met de digamma-functie) omvat en een eindige som over priemgetallen $p \le c$.
• Unitaire Equivalentie: Het artikel stelt vast dat de geïmplementeerde matrix unitair equivalent is aan de matrix gedefinieerd in Lemma 5.1 van Connes–Consani–Moscovici (2025), wat bevestigt dat de berekening hetzelfde spectrale object target.
• Numerieke Strategie:
  • Precisie: Berekeningen maken gebruik van tot 1000 decimalen (dps) om vloeren voor terugwaartse fouten te vermijden, met specifieke scans bij dps=500 en dps=1000.
  • Kwadratuur: Adaptieve tanh–sinh-kwadratuur wordt gebruikt voor het archimedische integraal, met een afsnijwaarde $T=800$ die is geverifieerd voor convergentie.
  • Eigenwaarde-extractie: De kleinste positieve eigenwaarde ($\lambda_{\min}^{even}$) van de even-sectormatrix wordt berekend. De bijbehorende eigenvector wordt gebruikt om Riemann-nulwaarden ($\gamma_k$) te extraheren via de Fourier–Mellin-transformatie van de grondtoestand.
  • Validatie: De studie omvat cross-validatie tegen gepubliceerde waarden bij $c=13$ en $c=14$, en een out-of-sample test bij $c=100$ met een scan van basisgroottes $N \in \{100, 150, 200, 250\}$.

Belangrijkste Bijdragen

1. Eerste Onafhankelijke Implementatie: Dit is de eerste publieke, onafhankelijke reproductie van de Galerkin-matrix van Connes–van Suijlekom. Het reproduceert de fout van de eerste nul bij $c=13$ binnen een factor 1,3 van de waarden gerapporteerd door Connes (2026) en Connes–Consani–Moscovici (2025).
2. Uitgebreide Numerieke Scan: De studie breidt metingen uit naar vijftien afsnijwaarden ($c=13$ tot en met 67) en een zestiende afsnijwaarde bij $c=100$. Over het in-sample venster ($c \le 67$) bij $N=100$ neemt de absolute fout $|\gamma_1 - \gamma_{\text{Riemann}}|$ monotoon af van $\sim 2 \times 10^{-55}$ tot $\sim 1.5 \times 10^{-168}$, wat 113 ordes van grootte beslaat.
3. Out-of-Sample Test bij $c=100$: Bij $c=100` voert de auteur een $N$-scan uit om convergentiegedrag te testen. Met Aitken-$\Delta^2$-extrapolatie op de reeks van kleinste-positieve eigenwaarden wordt de geschatte limiet $\log_{10}|\lambda_{\min}^{even}(\infty)|$ gevonden als ongeveer $-533,7$ tot $-536,8$. Dit nadert de heuristische continuümvoorspelling van Connes (2026) ($\approx -530,4$) met gaps van 3,3 tot 6,4 ordes van grootte, wat empirische consistentie biedt met de theoretische heuristiek.
4. Structurele Karakterisering: Het artikel identificeert verschillende structurele eigenschappen van de operator met eindige $N$:
   • Eigenvector-invariantie: Ondanks dat eigenwaarden variëren over 113 ordes van grootte, vertonen de eigenvectoren van de grondtoestand over verschillende afsnijwaarden een hoge overlap ($>0,95$), wat wijst op benaderende $c$-invariantie.
   • Convergentiesnelheden: Alle tien detecteerbare nulwaarden ($\gamma_1$ tot en met $\gamma_{10}$) convergeren met snelheden die binnen 3,8% van elkaar liggen.
   • Sobolev-regulariteit: Er wordt een empirische Galerkin-convergentie-exponent geïdentificeerd als $s(c) \approx 55 \log c - 128$, wat wijst op toenemende regulariteit met $c$.
   • Bulk-statistieken: Het bulk-spectrum (exclusief de grondtoestand) volgt Poisson-statistieken ($\beta < 0,05$), wat aangeeft dat er geen niveausafstoting is; de auteurs merken op dat dit een structurele diagnose is van de afgeknotte operator en geen test van Montgomery's conjectuur (die van toepassing is op lokaal herschaalde nulwaarden).
5. Uitbreiding naar Dirichlet L-functies: Een voorlopige port naar $L(s, \chi_3)$ onthult een oscillerende positiefheidsbreuk bij specifieke afsnijwaarden ($c=23, 29$), in contrast met de stabiele positiviteit die wordt waargenomen in het geval van de Riemann-zeta voor $c \le 67$.

Resultaten en Data

• Foutreductie: Bij $c=100, N=250, \text{dps}=500$ bereikt de extractie van de eerste tien Riemann-nulwaarden 307–329 overeenkomende cijfers.
• Falsificatie van Eenvoudige Modellen: Acht tweeparameter gladde convergentiemodellen (lineair, kwadratisch, exponentieel in $L$ of $\pi(c)$) werden getest en verworpen. Een vijfparsmeter log-periodiek model werd eveneens out-of-sample gefalsificeerd bij $c=53$.
• Eindige-N versus Continuüm: De empirische fit $|\log_{10} \lambda| \approx 13,24 c^{0,634}$ afgeleid uit data voor $c \le 67$ blijkt een eindige-$N$-snelheid te zijn, niet de continuüm-asymptoot. Deze wordt bij $c=100$ gefalsificeerd door een afwijking van 49 ordes van grootte in de richting van snellere verval.
• Negatieve Eigenwaarden: Bij $c=100$ bevat de ruwe eindige-$N$-matrix een klein blok van eigenwaarden met negatief teken. De auteur rapporteert de kleinste positieve eigenwaarde als een empirisch stabiele tak, met de opmerking dat de identificatie van deze tak met de theoretische grondtoestand conditioneel is op de aard van deze negatieve waarden (waarschijnlijk door conditie veroorzaakte artefacten).

Beweringen en Betekenis
Het artikel claimt expliciet niet de Riemann-hypothese te bewijzen of de convergentieconjectuur van Connes te valideren.

• Aard van de Bijdrage: Het werk wordt gepresenteerd als "experimentele wiskunde" die reproduceerbare numerieke data en zorgvuldige interpretatie biedt binnen het bestaande raamwerk van Connes–van Suijlekom/Connes–Consani–Moscovici.
• Consistentie, geen Bewijs: De overeenstemming tussen de Aitken-extrapolatie bij $c=100$ en de heuristiek van Connes (2026) wordt gerapporteerd als een empirische consistentietest, niet als een stelling. De auteur benadrukt dat Aitken-versnelling berust op aannames over de lokale vorm van de convergentiereeks.
• Status van de Hypothese: De toepassing van Theorema 1.1 van Connes–Consani–Moscovici op de data bij $c=100$ wordt behandeld met een "hypothesestatus-voorbehoud" vanwege de aanwezigheid van negatieve eigenwaarden in de ruwe matrix, die niet verondersteld worden te bestaan in de continuümlimiet.
• Betekenis: De primaire betekenis ligt in het leveren van de eerste onafhankelijke, hoogprecisie numerieke verificatie van het raamwerk van Connes–van Suijlekom, het uitbreiden van het bereik van geteste afsnijwaarden, en het karakteriseren van het structurele gedrag (eigenvectorstabiliteit, convergentiesnelheden en spectrale statistieken) van de afgeknotte operator. De data beperkt theoretisch werk door de effecten van eindige $N$ te kwantificeren en aan te tonen dat eenvoudige gladde modellen het convergentiegedrag over het gemeten bereik niet kunnen vangen.