High-Precision Approximation of Riemann Zeros via the Truncated Weil Form

기술적 요약: 잘라낸 Weil 형식을 통한 리만 영점의 고정밀 근사

문제 제기
본 논문은 Alain Connes 와 공동 연구자들이 제안한 리만 가설 (RH) 의 스펙트럼 해석 내의 미해결 문제를 다룹니다. 구체적으로, 소수 $p \le c$를 제어하는 차단 파라미터 $c$가 무한대로 갈 때, 잘라낸 Weil 이차 형식의 바닥 상태 영점들이 실제 리만 영점들로 수렴하는지 여부를 조사합니다. Connes–van Suijlekom (2025) 은 임의의 유한한 $c$에 대해 이러한 영점들이 임계선 위에 있음을 증명했으나, $c \to \infty$일 때 진정한 리만 영점들로의 수렴은 아직 증명되지 않았습니다. 본 작업 이전에는 Connes–van Suijlekom Galerkin 행렬의 독립적인 공개 구현체가 존재하지 않았으며, Connes (2026) 또는 Connes–Consani–Moscovici (2025) 가 보고한 수치 데이터의 독립적인 재현도 발표된 바 없습니다.

방법론
저자는 임의 정밀도 산술을 위한 Python 과 mpmath 라이브러리를 사용하여 Connes–van Suijlekom Proposition 4.1 Galerkin 행렬의 고정밀 수치 구현을 제시합니다.

• 연산자 구성: 구현체는 $L^2([0, \log c])$ 위의 잘라낸 Weil 이차 형식의 짝수 섹터 투영을 구성합니다. 행렬 요소는 디가마 함수를 포함하는 아르키메데스 멜린 승수 (archimedean Mellin multiplier) 와 소수 $p \le c$에 대한 유한 합을 포함하는 커널에서 유도됩니다.
• 유니터리 동치: 구현된 행렬이 Connes–Consani–Moscovici (2025) Lemma 5.1 에서 정의된 행렬과 유니터리 동치임을 논문은 입증하여, 계산이 동일한 스펙트럼 대상을 목표로 함을 확인합니다.
• 수치 전략:
  • 정밀도: 역방향 오차 바닥 (backward-error floors) 을 피하기 위해 최대 1000 자리 소수점 (dps) 을 사용한 계산이 수행되었으며, dps=500 및 dps=1000 에서 특정 스윕이 수행되었습니다.
  • 구적법: 아르키메데스 적분을 위해 적응형 tanh–sinh 구적법이 사용되었으며, 수렴이 검증된 차단값 $T=800$이 적용되었습니다.
  • 고유값 추출: 짝수 섹터 행렬의 가장 작은 양의 고유값 ($\lambda_{\min}^{even}$) 이 계산됩니다. 이에 대응하는 고유벡터는 바닥 상태의 푸리에–멜린 변환을 통해 리만 영점 ($\gamma_k$) 을 추출하는 데 사용됩니다.
  • 검증: 연구에는 $c=13$ 및 $c=14$에서의 published 값에 대한 교차 검증과, $N \in \{100, 150, 200, 250\}$의 기저 크기 스윕을 통한 $c=100$에서의 표본 외 테스트가 포함됩니다.

주요 기여

1. 최초의 독립적 구현: 이는 Connes–van Suijlekom Galerkin 행렬의 첫 번째 공개적이고 독립적인 재현입니다. 이는 Connes (2026) 과 Connes–Consani–Moscovici (2025) 가 보고한 값의 1.3 배 이내의 오차로 $c=13$에서의 첫 번째 영점 오차를 재현합니다.
2. 확장된 수치 스윕: 연구는 15 개의 차단값 ($c=13$부터 $67$까지) 과 16 번째 차단값인$c=100$으로 측정을 확장합니다.$N=100$에서의 표본 내 구간 ($c \le 67$) 에서 절대 오차$|\gamma_1 - \gamma_{\text{Riemann}}|$은$\sim 2 \times 10^{-55}$에서$\sim 1.5 \times 10^{-168}$로 단조 감소하여 113 개의 차수를 포괄합니다.
3. $c=100$에서의 표본 외 테스트: $c=100$에서 저자는 수렴 행동을 테스트하기 위해 $N$-스윕을 수행합니다. 가장 작은 양의 고유값 시퀀스에 Aitken-$\Delta^2$ 외삽법을 적용한 결과, 추정된 극한 $\log_{10}|\lambda_{\min}^{even}(\infty)|$은 약 $-533.7$에서$-536.8$ 사이로 나타납니다. 이는 Connes (2026) 의 휴리스틱 연속체 예측 ($\approx -530.4$) 에 3.3 에서 6.4 개의 차수 간격으로 접근하여 이론적 휴리스틱과 경험적 일관성을 제공합니다.
4. 구조적 특성화: 논문은 유한-$N$ 연산자의 여러 구조적 특성을 식별합니다:
   • 고유벡터 불변성: 고유값이 113 개의 차수만큼 변함에도 불구하고, 서로 다른 차단값에 걸친 바닥 상태 고유벡터는 높은 중첩 ($>0.95$) 을 보여 근사적인 $c$-불변성을 시사합니다.
   • 수렴률: 감지 가능한 모든 열 개의 영점 ($\gamma_1$부터 $\gamma_{10}$까지) 은 서로 3.8% 이내의 수렴률을 보입니다.
   • Sobolev 정칙성: 경험적 Galerkin 수렴 지수 $s(c) \approx 55 \log c - 128$이 식별되어 $c$에 따라 증가하는 정칙성을 시사합니다.
   • 벌크 통계: 바닥 상태를 제외한 벌크 스펙트럼은 포아송 통계 ($\beta < 0.05$) 를 따르며, 이는 레벨 반발을 나타내지 않습니다. 저자들은 이것이 몽고메리 추측 (국소적으로 재조정된 영점에 적용됨) 의 검사가 아니라 잘라낸 연산자의 구조적 진단임을 지적합니다.
5. 디리클레 L-함수로의 확장: $L(s, \chi_3)$로의 예비 포트는 특정 차단값 ($c=23, 29$) 에서 진동하는 양성 붕괴를 드러내며, 이는 $c \le 67$에서 관찰된 리만 제타 사례의 안정적인 양성과 대조됩니다.

결과 및 데이터

• 오차 감소: $c=100, N=250, \text{dps}=500$에서 첫 열 개의 리만 영점 추출은 307~329 개의 일치하는 자릿수를 달성합니다.
• 단순 모델의 반증: 8 개의 2-파라미터 매끄러운 수렴 모델 (선형, 2 차, $L$ 또는 $\pi(c)$의 지수함수) 이 테스트되어 기각되었습니다. 5-파라미터 로그-주기 모델 또한 $c=53$에서 표본 외로 반증되었습니다.
• 유한-$N$ 대 연속체: $c \le 67$ 데이터에서 유도된 경험적 적합 $|\log_{10} \lambda| \approx 13.24 c^{0.634}$는 연속체 점근선이 아닌 유한-$N$ 속도임이 입증됩니다. 이는 $c=100$에서 더 빠른 감쇠 방향으로 49 개의 차수 편차에 의해 반증됩니다.
• 음의 고유값: $c=100$에서 원시 유한-$N$ 행렬은 작은 음의 부호 고유값 블록을 포함합니다. 저자는 경험적으로 안정적인 가지로서 가장 작은 양의 고유값을 보고하며, 이 가지를 이론적 바닥 상태와 동일시하는 것은 이러한 음수들의 성질 (아마도 조건에 기인한 인공물) 에 조건부임을 지적합니다.

주장 및 의의
본 논문은 명시적으로 리만 가설을 증명하거나 Connes 의 수렴 추측을 검증한다고 주장하지 않습니다.

• 기여의 성격: 이 작업은 기존 Connes–van Suijlekom/Connes–Consani–Moscovici 프레임워크 하에서 재현 가능한 수치 데이터와 신중한 해석을 제공하는 "실험적 수학"으로 제시됩니다.
• 일관성, 증명 아님: $c=100$에서의 Aitken 외삽과 Connes (2026) 휴리스틱 간의 일치는 정리가 아닌 경험적 일관성 테스트로 보고됩니다. 저자는 Aitken 가속이 수렴 시퀀스의 국소적 형태에 대한 가정에 의존함을 강조합니다.
• 가설 상태: 원시 행렬에 음의 고유값이 존재하여 연속체 극한에서는 존재하지 않는다고 가정되므로, Connes–Consani–Moscovici Theorem 1.1 을 $c=100$ 데이터에 적용하는 것은 "가설 상태의 주의사항"으로 다뤄집니다.
• 의의: 주요 의의는 Connes–van Suijlekom 프레임워크에 대한 최초의 독립적이고 고정밀의 수치 검증을 제공하고, 테스트된 차단값 범위를 확장하며, 잘라낸 연산자의 구조적 행동 (고유벡터 안정성, 수렴률, 스펙트럼 통계) 을 특성화하는 데 있습니다. 이 데이터는 유한-$N$ 효과를 정량화하고 단순한 매끄러운 모델이 측정된 범위에서 수렴 행동을 포착할 수 없음을 보여줌으로써 이론적 작업을 제약합니다.