High-Precision Approximation of Riemann Zeros via the Truncated Weil Form

技術的概要：切断された Weil 二次形式によるリーマン零点の高精度近似

問題提起
本論文は、Alain Connes および共同研究者によって提案されたリーマン予想（RH）のスペクトル解釈における未解決の問題に取り組む。具体的には、素数 $p \le c$ を制御するカットオフパラメータ $c$ が無限大に近づくにつれて、切断された Weil 二次形式の基底状態零点が実際のリーマン零点に収束するかどうかを検証する。Connes–van Suijlekom（2025）は、任意の有限の $c$ に対してこれらの零点が臨界線上に存在することを証明したが、$c \to \infty$ における真のリーマン零点への収束は未証明のままである。本作業以前、Connes–van Suijlekom の Galerkin 行列の独立した公開実装は存在せず、Connes（2026）または Connes–Consani–Moscovici（2025）が報告した数値データの独立した再現も発表されていなかった。

手法
著者は、任意精度算術を行う Python と mpmath ライブラリを用いて、Connes–van Suijlekom の命題 4.1 に基づく Galerkin 行列の高精度数値実装を提示する。

• 作用素の構成: 実装は、$L^2([0, \log c])$ 上の切断された Weil 二次形式の偶数セクター射影を構築する。行列要素は、アーキメデス型 Mellin 乗数（digamma 関数を含む）と素数 $p \le c$ 上の有限和を含む核から導出される。
• ユニタリ同値性: 本論文は、実装された行列が Connes–Consani–Moscovici（2025）の補題 5.1 で定義された行列とユニタリ同値であることを確立し、計算が同一のスペクトル対象を標的としていることを確認する。
• 数値戦略:
  • 精度: 後方誤差のフロアを回避するため、計算には最大 1000 桁（dps）が用いられ、dps=500 および dps=1000 での特定のスウィープが行われた。
  • 数値積分: アーキメデス型積分には、収束が検証されたカットオフ $T=800$ を用いた適応型 tanh–sinh 数値積分が使用された。
  • 固有値の抽出: 偶数セクター行列の最小正の固有値（$\lambda_{\min}^{even}$）が計算される。対応する固有ベクトルは、基底状態の Fourier–Mellin 変換を通じてリーマン零点（$\gamma_k$）を抽出するために用いられる。
  • 検証: 本研究には、$c=13$ および $c=14$ における公表値との相互検証、および $c=100$ における基底サイズ $N \in \{100, 150, 200, 250\}$ のスウィープによるアウト・オブ・サンプル・テストが含まれる。

主要な貢献

1. 最初の独立実装: これは Connes–van Suijlekom Galerkin 行列の最初の公開かつ独立した再現である。これは、Connes（2026）および Connes–Consani–Moscovici（2025）が報告した値の 1.3 倍の範囲内で、$c=13$ における最初の零点の誤差を再現する。
2. 拡張された数値スウィープ: 本研究は、測定を 15 個のカットオフ（$c=13$ から $67$）および 16 番目のカットオフ$c=100$に拡張した。$N=100$におけるイン・サンプル・ウィンドウ（$c \le 67$）全体で、絶対誤差$|\gamma_1 - \gamma_{\text{Riemann}}|$は$\sim 2 \times 10^{-55}$から$\sim 1.5 \times 10^{-168}$ まで単調に減少し、113 オーダーの幅をカバーした。
3. $c=100$ におけるアウト・オブ・サンプル・テスト: $c=100$ において、著者は収束挙動をテストするために $N$ スウィープを実行した。最小正の固有値の列に対する Aitken-$\Delta^2$ 外挿を用いると、推定される極限 $\log_{10}|\lambda_{\min}^{even}(\infty)|$ は約 $-533.7$から$-536.8$ であることが判明した。これは、Connes（2026）のヒューリスティックな連続体予測（$\approx -530.4$）に 3.3 から 6.4 オーダーのギャップで接近しており、理論的ヒューリスティックとの経験的整合性を提供している。
4. 構造的特徴付け: 本論文は、有限-$N$ 作用素のいくつかの構造的性質を特定する。
   • 固有ベクトルの不変性: 固有値が 113 オーダー変化するにもかかわらず、異なるカットオフにわたる基底状態固有ベクトルは高い重なり（$>0.95$）を示し、近似された $c$ 不変性を示唆している。
   • 収束率: 検出可能な 10 個の零点すべて（$\gamma_1$ から $\gamma_{10}$）は、互いに 3.8% 以内の収束率で収束する。
   • ソボレフ正則性: 経験的 Galerkin 収束指数 $s(c) \approx 55 \log c - 128$ が特定され、$c$ が増加するにつれて正則性が増加することを示唆している。
   • バルク統計: バルクスペクトル（基底状態を除く）はポアソン統計（$\beta < 0.05$）に従い、レベル反発がないことを示している。著者らはこれがモンゴメリー予想（局所的に再スケーリングされた零点に適用される）のテストではなく、切断された作用素の構造的診断であると指摘している。
5. ディリクレ L 関数への拡張: $L(s, \chi_3)$ への予備的な移植は、特定のカットオフ（$c=23, 29$）で振動する正性の崩壊を明らかにし、$c \le 67$ のリーマンゼータの場合で観察された安定した正性と対照的である。

結果とデータ

• 誤差低減: $c=100, N=250, \text{dps}=500$ において、最初の 10 個のリーマン零点の抽出は 307〜329 桁の一致を達成した。
• 単純モデルの反証: 8 つの 2 パラメータ滑らか収束モデル（線形、二次、$L$ または $\pi(c)$ における指数関数）がテストされ、棄却された。5 パラメータの対数周期モデルも、$c=53$ におけるアウト・オブ・サンプル・テストで反証された。
• 有限-$N$ と連続体: $c \le 67$ のデータから導出された経験的フィット $|\log_{10} \lambda| \approx 13.24 c^{0.634}$ は、連続体の漸近線ではなく有限-$N$ 率であることが示された。これは、より急速な減衰の方向への 49 オーダーの偏差によって $c=100$ で反証された。
• 負の固有値: $c=100$ において、生の有限-$N$ 行列には小さな負符号の固有値のブロックが含まれている。著者は、経験的に安定した枝として最小の正の固有値を報告し、この枝を理論的基底状態と同一視することは、これらの負の値の性質（おそらく条件駆動型のアーティファクト）に条件付けられていると指摘している。

主張と意義
本論文は、リーマン予想を証明したり、Connes の収束予想を検証したりするとは明示的に主張していない。

• 貢献の性質: この作業は、既存の Connes–van Suijlekom/Connes–Consani–Moscovici 枠組みの下で再現可能な数値データと慎重な解釈を提供する「実験数学」として提示されている。
• 整合性、証明ではない: $c=100$ における Aitken 外挿と Connes（2026）のヒューリスティックとの一致は、定理ではなく経験的整合性テストとして報告されている。著者は、Aitken 加速が収束列の局所的な形状に関する仮定に依存していることを強調している。
• 仮説のステータス: Connes–Consani–Moscovici の定理 1.1 の $c=100$ データへの適用は、生の行列に存在する負の固有値（連続体極限では存在しないと仮定される）のため、「仮説ステータスの留保」を伴って扱われる。
• 意義: 主な意義は、Connes–van Suijlekom 枠組みの最初の独立した高精度数値検証を提供し、テストされたカットオフの範囲を拡張し、切断された作用素の構造的挙動（固有ベクトルの安定性、収束率、スペクトル統計）を特徴付ける点にある。このデータは、有限-$N$ 効果を定量化し、単純な滑らかモデルが測定された範囲における収束挙動を捉えられないことを実証することで、理論的作業を制約する。