On some arithmetic conditions of recurrent sequences modulo prime p

Riepilogo Tecnico: Su alcune condizioni aritmetiche delle successioni ricorrenti modulo un primo $p$

Enunciato del Problema
Il lavoro esamina le proprietà aritmetiche della successione di Fibonacci-$K$ modulo un primo $p$. Nello specifico, si concentra sulla stima delle cardinalità dell'insieme somma $|F_p + F_p|$ e dell'insieme prodotto $|F_p \cdot F_p|$, dove $F_p$ denota l'insieme degli elementi generati dalla relazione di ricorrenza di Fibonacci-$K$ modulo $p$. La successione di Fibonacci-$K$ è definita da $F_{n+2} = K F_n + F_{n+1}$ con condizioni iniziali $F_0=0, F_1=1$, dove $K \in \mathbb{F}_p^*$. Ciò generalizza la successione di Fibonacci classica ($K=1$) e la successione dei numeri di Pell ($K=2$). Il lavoro affronta il problema del "raddoppio" nella combinatoria additiva e moltiplicativa, cercando limiti inferiori per la dimensione di questi insiemi rispetto alla dimensione dell'insieme originale $|F_p|$.

Metodologia
Gli autori impiegano un metodo per stimare la costante di raddoppio di insiemi ricorrenti $m$-dimensionali in $\mathbb{F}_p$. L'approccio fondamentale comprende:

1. Rappresentazione delle Successioni Ricorrenti: Gli elementi della successione sono espressi in termini delle radici del polinomio caratteristico. Per la successione di Fibonacci-$K$, gli autori decompongono l'insieme $F_p$ nell'unione di due sottosuccessioni ricorrenti ($F'_p$ e $F''_p$) corrispondenti agli indici pari e dispari. Queste sottosuccessioni sono rappresentate come combinazioni lineari di potenze di elementi in un sottogruppo moltiplicativo $G \subset \mathbb{F}_{p^s}^*$, specificamente nella forma $X_n = \sum \alpha_i x^{k_i}$ dove $x \in G$.
2. Raddoppio Polinomiale e Irreducibilità: Il problema è generalizzato alla cardinalità dell'insieme $P(X, X) = \{P(X, Y) \mid X, Y \in X\}$ per un polinomio $P$. Per limitare il numero di soluzioni di $P(X, Y) = r$, gli autori trasformano il problema nella ricerca di soluzioni di un'equazione polinomiale $Q_r(x, y) = 0$ all'interno del sottogruppo $G$.
3. Applicazione di Limiti per Sottogruppi: Gli autori utilizzano limiti esistenti sul numero di soluzioni di equazioni polinomiali in sottogruppi (citando il Teorema 2 da [5] e il Teorema 1.2 da [4]). Questi limiti dipendono dal grado del polinomio e dalla dimensione del sottogruppo, a condizione che il polinomio sia assolutamente irriducibile e soddisfi specifiche condizioni di non degenerazione.
4. Poligoni di Newton per l'Irreducibilità: Un passaggio critico consiste nel dimostrare l'irreducibilità assoluta dei polinomi trasformati $Q_r(x, y)$. Gli autori utilizzano i poligoni di Newton per analizzare la struttura di tali polinomi. Dimostrano che, per polinomi specifici relativi all'addizione ($x+y$) e alla moltiplicazione ($xy$), i poligoni di Newton non possono essere decomposti nella somma di Minkowski di poligoni più piccoli (eccetto in casi degeneri), dimostrando così l'irreducibilità.

Contributi e Risultati Chiave
Il contributo principale è l'istituzione di limiti inferiori per la cardinalità degli insiemi somma e prodotto della successione di Fibonacci-$K$ modulo $p$.

• Teorema Principale (Teorema 1): Sotto la condizione che $|F_p| < \frac{1}{6}p^{3/4}$, il lavoro dimostra che esiste una costante assoluta $C$ tale che:
  $$|F_p + F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
  $$|F_p \cdot F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
• Lemma Tecnici: Il lavoro fornisce dimostrazioni specifiche dell'irreducibilità per i polinomi $P_1(x, y) = \alpha x^2y + \gamma xy^2 - rxy + \delta x + \beta y$ e $P_2(x, y)$ (relativi al caso prodotto) utilizzando l'analisi dei poligoni di Newton. Questi lemmi garantiscono l'applicabilità dei limiti per le soluzioni nei sottogruppi alla struttura specifica della successione di Fibonacci-$K$.
• Generalizzazione: La metodologia è presentata come applicabile a una classe più ampia di successioni ricorrenti $m$-dimensionali modulo $p$, a condizione dell'irreducibilità delle serie polinomiali associate.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di presentare un metodo per stimare la costante di raddoppio di insiemi ricorrenti $m$-dimensionali. Applicando questo metodo alla successione di Fibonacci-$K$, gli autori stabiliscono che tali insiemi mostrano una crescita significativa sotto addizione e moltiplicazione, soddisfacendo limiti simili a quelli trovati nei problemi somma-prodotto per insiemi generali. Il lavoro collega l'aritmetica delle successioni di ricorrenza lineare con la combinatoria additiva, utilizzando specificamente la struttura del sottogruppo moltiplicativo sottostante generato dalle radici caratteristiche. Gli autori notano che il metodo si basa sulla dimostrazione dell'irreducibilità dei polinomi associati, un compito che completano esplicitamente per il caso Fibonacci-$K$ utilizzando i poligoni di Newton. I risultati sono inquadrati come stime teoriche nel dominio della teoria dei numeri aritmetica, senza proporre nuove applicazioni o validazioni sperimentali.