On some arithmetic conditions of recurrent sequences modulo prime p

Resumen Técnico: Sobre ciertas condiciones aritméticas de sucesiones recurrentes módulo primo $p$

Planteamiento del Problema
El artículo investiga las propiedades aritméticas de la sucesión $K$-Fibonacci módulo un primo $p$. Específicamente, se centra en estimar las cardinalidades del conjunto suma $|F_p + F_p|$ y del conjunto producto $|F_p \cdot F_p|$, donde $F_p$ denota el conjunto de elementos generados por la relación de recurrencia $K$-Fibonacci módulo $p$. La sucesión $K$-Fibonacci se define mediante $F_{n+2} = K F_n + F_{n+1}$ con condiciones iniciales $F_0=0, F_1=1$, donde $K \in \mathbb{F}_p^*$. Esto generaliza la sucesión de Fibonacci clásica ($K=1$) y la sucesión de números de Pell ($K=2$). El trabajo aborda el problema de "duplicación" en la combinatoria aditiva y multiplicativa, buscando cotas inferiores para el tamaño de estos conjuntos en relación con el tamaño del conjunto original $|F_p|$.

Metodología
Los autores emplean un método para estimar la constante de duplicación de conjuntos recurrentes de dimensión $m$ en $\mathbb{F}_p$. El enfoque central implica:

1. Representación de Sucesiones Recurrentes: Los elementos de la sucesión se expresan en términos de las raíces del polinomio característico. Para la sucesión $K$-Fibonacci, los autores descomponen el conjunto $F_p$ en la unión de dos subsucesiones recurrentes ($F'_p$ y $F''_p$) correspondientes a índices pares e impares. Estas subsucesiones se representan como combinaciones lineales de potencias de elementos en un subgrupo multiplicativo $G \subset \mathbb{F}_{p^s}^*$, específicamente en la forma $X_n = \sum \alpha_i x^{k_i}$ donde $x \in G$.
2. Duplicación Polinómica e Irreducibilidad: El problema se generaliza a la cardinalidad del conjunto $P(X, X) = \{P(X, Y) \mid X, Y \in X\}$ para un polinomio $P$. Para acotar el número de soluciones de $P(X, Y) = r$, los autores transforman el problema en encontrar soluciones de una ecuación polinómica $Q_r(x, y) = 0$ dentro del subgrupo $G$.
3. Aplicación de Cotas de Subgrupos: Los autores utilizan cotas existentes sobre el número de soluciones de ecuaciones polinómicas en subgrupos (citando el Teorema 2 de [5] y el Teorema 1.2 de [4]). Estas cotas dependen del grado del polinomio y del tamaño del subgrupo, siempre que el polinomio sea absolutamente irreducible y satisfaga condiciones específicas de no degeneración.
4. Polígonos de Newton para Irreducibilidad: Un paso crítico es probar la irreducibilidad absoluta de los polinomios transformados $Q_r(x, y)$. Los autores utilizan polígonos de Newton para analizar la estructura de estos polinomios. Demuestran que, para polinomios específicos relacionados con la suma ($x+y$) y la multiplicación ($xy$), los polígonos de Newton no pueden descomponerse en la suma de Minkowski de polígonos más pequeños (excepto en casos degenerados), probando así la irreducibilidad.

Contribuciones y Resultados Clave
La contribución principal es el establecimiento de cotas inferiores para la cardinalidad de los conjuntos suma y producto de la sucesión $K$-Fibonacci módulo $p$.

• Teorema Principal (Teorema 1): Bajo la condición de que $|F_p| < \frac{1}{6}p^{3/4}$, el artículo demuestra que existe una constante absoluta $C$ tal que:
  $$|F_p + F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
  $$|F_p \cdot F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
• Lemas Técnicos: El artículo proporciona pruebas específicas de irreducibilidad para los polinomios $P_1(x, y) = \alpha x^2y + \gamma xy^2 - rxy + \delta x + \beta y$ y $P_2(x, y)$ (relacionado con el caso producto) utilizando análisis de polígonos de Newton. Estos lemas aseguran la aplicabilidad de las cotas de soluciones de subgrupos a la estructura específica de la sucesión $K$-Fibonacci.
• Generalización: La metodología se presenta como aplicable a una clase más amplia de sucesiones recurrentes de dimensión $m$ módulo $p$, dependiendo de la irreducibilidad de las series polinómicas asociadas.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma presentar un método para estimar la constante de duplicación de conjuntos recurrentes de dimensión $m$. Al aplicar este método a la sucesión $K$-Fibonacci, los autores establecen que estos conjuntos exhiben un crecimiento significativo bajo la suma y la multiplicación, satisfaciendo cotas similares a las encontradas en problemas de suma-producto para conjuntos generales. El trabajo conecta la aritmética de las sucesiones de recurrencia lineal con la combinatoria aditiva, utilizando específicamente la estructura del subgrupo multiplicativo subyacente generado por las raíces características. Los autores señalan que el método depende de probar la irreducibilidad de los polinomios asociados, una tarea que completan explícitamente para el caso $K$-Fibonacci utilizando polígonos de Newton. Los resultados se enmarcan como estimaciones teóricas dentro del dominio de la teoría de números aritmética, sin proponer nuevas aplicaciones ni validaciones experimentales.