On some arithmetic conditions of recurrent sequences modulo prime p

技术摘要：关于素数 $p$ 模下递推序列的某些算术条件

问题陈述
本文研究了 $K$-Fibonacci 序列在素数 $p$ 模下的算术性质。具体而言，它聚焦于估计和集 $|F_p + F_p|$ 与积集 $|F_p \cdot F_p|$ 的基数，其中 $F_p$ 表示由模 $p$ 下的 $K$-Fibonacci 递推关系生成的元素集合。$K$-Fibonacci 序列定义为 $F_{n+2} = K F_n + F_{n+1}$，初始条件为 $F_0=0, F_1=1$，其中 $K \in \mathbb{F}_p^*$。这推广了经典 Fibonacci 序列（$K=1$）和 Pell 数序列（$K=2$）。该工作解决了加法和乘法组合数学中的“倍增”问题，旨在寻求这些集合大小相对于原始集合大小 $|F_p|$ 的下界。

方法论
作者采用了一种估计 $\mathbb{F}_p$ 中 $m$ 维递推集倍增常数的方法。核心方法包括：

1. 递推序列的表示：序列元素用特征多项式的根来表示。对于 $K$-Fibonacci 序列，作者将集合 $F_p$ 分解为对应于偶数索引和奇数索引的两个递推子序列（$F'_p$ 和 $F''_p$）的并集。这些子序列被表示为乘法子群 $G \subset \mathbb{F}_{p^s}^*$ 中元素幂次的线性组合，具体形式为 $X_n = \sum \alpha_i x^{k_i}$，其中 $x \in G$。
2. 多项式倍增与不可约性：问题被推广到多项式 $P$ 的集合 $P(X, X) = \{P(X, Y) \mid X, Y \in X\}$ 的基数。为了界定方程 $P(X, Y) = r$ 的解的数量，作者将问题转化为在子群 $G$ 中寻找多项式方程 $Q_r(x, y) = 0$ 的解。
3. 子群界的应用：作者利用了关于子群中多项式方程解数量的现有界（引用了 [5] 中的定理 2 和 [4] 中的定理 1.2）。只要多项式是绝对不可约的并满足特定的非退化条件，这些界就取决于多项式的次数和子群的大小。
4. 用于不可约性的牛顿多边形：关键步骤是证明变换后的多项式 $Q_r(x, y)$ 的绝对不可约性。作者利用牛顿多边形来分析这些多项式的结构。他们证明，对于与加法（$x+y$）和乘法（$xy$）相关的特定多项式，其牛顿多边形不能分解为较小多边形的闵可夫斯基和（退化情况除外），从而证明了不可约性。

主要贡献与结果
主要贡献是建立了模 $p$ 下 $K$-Fibonacci 序列的和集与积集基数的下界。

• 主要定理（定理 1）：在条件 $|F_p| < \frac{1}{6}p^{3/4}$ 下，本文证明了存在一个绝对常数 $C$，使得：
  $$|F_p + F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
  $$|F_p \cdot F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
• 技术引理：本文利用牛顿多边形分析，提供了多项式 $P_1(x, y) = \alpha x^2y + \gamma xy^2 - rxy + \delta x + \beta y$ 和 $P_2(x, y)$（与积的情况相关）的不可约性的具体证明。这些引理确保了子群解界适用于 $K$-Fibonacci 序列的特定结构。
• 推广：该方法被提出适用于模 $p$ 下更广泛的一类 $m$ 维递推序列，前提是相关的多项式系列是不可约的。

意义与主张
本文声称提出了一种估计 $m$ 维递推集倍增常数的方法。通过将该方法应用于 $K$-Fibonacci 序列，作者确立了这些集合在加法和乘法下表现出显著增长，满足类似于一般集合的积和问题中发现的界。该工作将线性递推序列的算术与加法组合数学联系起来，具体利用了由特征根生成的底层乘法子群的结构。作者指出，该方法依赖于证明相关多项式的不可约性，他们利用牛顿多边形明确完成了 $K$-Fibonacci 情形下的这一任务。结果被表述为算术数论领域内的理论估计，未提出新的应用或实验验证。