On some arithmetic conditions of recurrent sequences modulo prime p

Résumé technique : Sur certaines conditions arithmétiques des suites récurrentes modulo un nombre premier $p$

Énoncé du problème
L'article examine les propriétés arithmétiques de la suite de Fibonacci $K$ modulo un nombre premier $p$. Plus précisément, il se concentre sur l'estimation des cardinalités de l'ensemble somme $|F_p + F_p|$ et de l'ensemble produit $|F_p \cdot F_p|$, où $F_p$ désigne l'ensemble des éléments générés par la relation de récurrence de Fibonacci $K$ modulo $p$. La suite de Fibonacci $K$ est définie par $F_{n+2} = K F_n + F_{n+1}$ avec les conditions initiales $F_0=0, F_1=1$, où $K \in \mathbb{F}_p^*$. Cela généralise la suite de Fibonacci classique ($K=1$) et la suite des nombres de Pell ($K=2$). Le travail aborde le problème du « doublement » en combinatoire additive et multiplicative, cherchant des bornes inférieures pour la taille de ces ensembles par rapport à la taille de l'ensemble original $|F_p|$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une méthode pour estimer la constante de doublement des ensembles récurrents de dimension $m$ dans $\mathbb{F}_p$. L'approche centrale comprend :

1. Représentation des suites récurrentes : Les éléments de la suite sont exprimés en fonction des racines du polynôme caractéristique. Pour la suite de Fibonacci $K$, les auteurs décomposent l'ensemble $F_p$ en l'union de deux sous-suites récurrentes ($F'_p$ et $F''_p$) correspondant aux indices pairs et impairs. Ces sous-suites sont représentées comme des combinaisons linéaires de puissances d'éléments d'un sous-groupe multiplicatif $G \subset \mathbb{F}_{p^s}^*$, spécifiquement sous la forme $X_n = \sum \alpha_i x^{k_i}$ où $x \in G$.
2. Doublement polynomial et irréductibilité : Le problème est généralisé à la cardinalité de l'ensemble $P(X, X) = \{P(X, Y) \mid X, Y \in X\}$ pour un polynôme $P$. Pour borner le nombre de solutions de $P(X, Y) = r$, les auteurs transforment le problème en la recherche de solutions d'une équation polynomiale $Q_r(x, y) = 0$ au sein du sous-groupe $G$.
3. Application de bornes de sous-groupes : Les auteurs utilisent des bornes existantes sur le nombre de solutions d'équations polynomiales dans les sous-groupes (citant le Théorème 2 de [5] et le Théorème 1.2 de [4]). Ces bornes dépendent du degré du polynôme et de la taille du sous-groupe, à condition que le polynôme soit absolument irréductible et satisfasse des conditions de non-dégénérescence spécifiques.
4. Polygones de Newton pour l'irréductibilité : Une étape critique consiste à prouver l'irréductibilité absolue des polynômes transformés $Q_r(x, y)$. Les auteurs utilisent les polygones de Newton pour analyser la structure de ces polynômes. Ils démontrent que pour des polynômes spécifiques liés à l'addition ($x+y$) et à la multiplication ($xy$), les polygones de Newton ne peuvent pas être décomposés en la somme de Minkowski de polygones plus petits (sauf dans des cas dégénérés), prouvant ainsi l'irréductibilité.

Contributions et résultats clés
La contribution principale est l'établissement de bornes inférieures pour la cardinalité des ensembles somme et produit de la suite de Fibonacci $K$ modulo $p$.

• Théorème principal (Théorème 1) : Sous la condition que $|F_p| < \frac{1}{6}p^{3/4}$, l'article prouve qu'il existe une constante absolue $C$ telle que :
  $$|F_p + F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
  $$|F_p \cdot F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
• Lemmes techniques : L'article fournit des preuves spécifiques d'irréductibilité pour les polynômes $P_1(x, y) = \alpha x^2y + \gamma xy^2 - rxy + \delta x + \beta y$ et $P_2(x, y)$ (liés au cas produit) en utilisant l'analyse des polygones de Newton. Ces lemmes garantissent l'applicabilité des bornes de solutions de sous-groupes à la structure spécifique de la suite de Fibonacci $K$.
• Généralisation : La méthodologie est présentée comme applicable à une classe plus large de suites récurrentes de dimension $m$ modulo $p$, sous réserve de l'irréductibilité des séries polynomiales associées.

Signification et affirmations
L'article prétend présenter une méthode pour estimer la constante de doublement des ensembles récurrents de dimension $m$. En appliquant cette méthode à la suite de Fibonacci $K$, les auteurs établissent que ces ensembles présentent une croissance significative sous l'addition et la multiplication, satisfaisant des bornes similaires à celles trouvées dans les problèmes somme-produit pour des ensembles généraux. Le travail relie l'arithmétique des suites de récurrence linéaire à la combinatoire additive, en utilisant spécifiquement la structure du sous-groupe multiplicatif sous-jacent généré par les racines caractéristiques. Les auteurs notent que la méthode repose sur la preuve de l'irréductibilité des polynômes associés, une tâche qu'ils achèvent explicitement pour le cas de la suite de Fibonacci $K$ en utilisant les polygones de Newton. Les résultats sont présentés comme des estimations théoriques dans le domaine de la théorie des nombres arithmétique, sans proposer de nouvelles applications ni de validations expérimentales.