On some arithmetic conditions of recurrent sequences modulo prime p

Resumo Técnico: Sobre algumas condições aritméticas de sequências recorrentes módulo primo $p$

Enunciado do Problema
O artigo investiga as propriedades aritméticas da sequência $K$-Fibonacci módulo um primo $p$. Especificamente, foca na estimativa das cardinalidades do conjunto soma $|F_p + F_p|$ e do conjunto produto $|F_p \cdot F_p|$, onde $F_p$ denota o conjunto dos elementos gerados pela relação de recorrência $K$-Fibonacci módulo $p$. A sequência $K$-Fibonacci é definida por $F_{n+2} = K F_n + F_{n+1}$ com condições iniciais $F_0=0, F_1=1$, onde $K \in \mathbb{F}_p^*$. Isso generaliza a sequência de Fibonacci clássica ($K=1$) e a sequência de números de Pell ($K=2$). O trabalho aborda o problema do "dobramento" na combinatória aditiva e multiplicativa, buscando limites inferiores para o tamanho desses conjuntos em relação ao tamanho do conjunto original $|F_p|$.

Metodologia
Os autores empregam um método para estimar a constante de dobramento de conjuntos recorrentes $m$-dimensionais em $\mathbb{F}_p$. A abordagem central envolve:

1. Representação de Sequências Recorrentes: Os elementos da sequência são expressos em termos das raízes do polinômio característico. Para a sequência $K$-Fibonacci, os autores decompõem o conjunto $F_p$ na união de duas subsequências recorrentes ($F'_p$ e $F''_p$) correspondentes aos índices pares e ímpares. Essas subsequências são representadas como combinações lineares de potências de elementos em um subgrupo multiplicativo $G \subset \mathbb{F}_{p^s}^*$, especificamente na forma $X_n = \sum \alpha_i x^{k_i}$ onde $x \in G$.
2. Dobramento Polinomial e Irredutibilidade: O problema é generalizado para a cardinalidade do conjunto $P(X, X) = \{P(X, Y) \mid X, Y \in X\}$ para um polinômio $P$. Para limitar o número de soluções de $P(X, Y) = r$, os autores transformam o problema na busca de soluções para uma equação polinomial $Q_r(x, y) = 0$ dentro do subgrupo $G$.
3. Aplicação de Limites de Subgrupos: Os autores utilizam limites existentes sobre o número de soluções de equações polinomiais em subgrupos (citando o Teorema 2 de [5] e o Teorema 1.2 de [4]). Esses limites dependem do grau do polinômio e do tamanho do subgrupo, desde que o polinômio seja absolutamente irredutível e satisfaça condições específicas de não degenerescência.
4. Polígonos de Newton para Irredutibilidade: Uma etapa crítica é provar a irredutibilidade absoluta dos polinômios transformados $Q_r(x, y)$. Os autores utilizam polígonos de Newton para analisar a estrutura desses polinômios. Eles demonstram que, para polinômios específicos relacionados à adição ($x+y$) e multiplicação ($xy$), os polígonos de Newton não podem ser decompostos na soma de Minkowski de polígonos menores (exceto em casos degenerados), provando assim a irredutibilidade.

Principais Contribuições e Resultados
A contribuição primária é o estabelecimento de limites inferiores para a cardinalidade dos conjuntos soma e produto da sequência $K$-Fibonacci módulo $p$.

• Teorema Principal (Teorema 1): Sob a condição de que $|F_p| < \frac{1}{6}p^{3/4}$, o artigo prova que existe uma constante absoluta $C$ tal que:
  $$|F_p + F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
  $$|F_p \cdot F_p| > C|F_p|^{4/3}$$
• Lemas Técnicos: O artigo fornece provas específicas de irredutibilidade para os polinômios $P_1(x, y) = \alpha x^2y + \gamma xy^2 - rxy + \delta x + \beta y$ e $P_2(x, y)$ (relacionado ao caso do produto) usando análise de polígono de Newton. Esses lemas garantem a aplicabilidade dos limites de soluções de subgrupos à estrutura específica da sequência $K$-Fibonacci.
• Generalização: A metodologia é apresentada como aplicável a uma classe mais ampla de sequências recorrentes $m$-dimensionais módulo $p$, condicionada à irredutibilidade da série polinomial associada.

Significância e Afirmações
O artigo afirma apresentar um método para estimar a constante de dobramento de conjuntos recorrentes $m$-dimensionais. Ao aplicar esse método à sequência $K$-Fibonacci, os autores estabelecem que esses conjuntos exibem crescimento significativo sob adição e multiplicação, satisfazendo limites semelhantes aos encontrados em problemas de soma-produto para conjuntos gerais. O trabalho conecta a aritmética de sequências de recorrência linear com a combinatória aditiva, utilizando especificamente a estrutura do subgrupo multiplicativo subjacente gerado pelas raízes características. Os autores observam que o método depende da prova da irredutibilidade dos polinômios associados, uma tarefa que completam explicitamente para o caso $K$-Fibonacci usando polígonos de Newton. Os resultados são enquadrados como estimativas teóricas no domínio da teoria dos números aritmética, sem propor novas aplicações ou validações experimentais.