Hilbert polynomials of the first and second secant varieties

Sintesi Tecnica: Polinomi di Hilbert delle Varietà Secanti Prima e Seconda

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta il calcolo dei gruppi di coomologia delle potenze simmetriche del fascio tautologico $E_{k+1,L}$ sullo schema di Hilbert dei punti $X[k+1]$ per una varietà complessa proiettiva liscia $X$ di dimensione $n$. In particolare, gli autori si concentrano sul caso in cui $k=1$ e $k=2$ (corrispondenti agli schemi di Hilbert di 2 e 3 punti) e su un intero arbitrario $\ell \geq 1$. Il fascio $E_{k+1,L}$ è associato a un fascio lineare sufficientemente positivo $L$ su $X$.

Mentre la letteratura precedente ha studiato estesamente questi gruppi di coomologia per curve ($n=1$) o per piccoli valori di $n$ e $\ell$, questo lavoro mira alla generalizzazione a dimensione arbitraria $n$ e a potenza simmetrica arbitraria $\ell$, sotto l'ipotesi che $L$ sia sufficientemente positivo. L'obiettivo finale è esprimere le dimensioni di questi gruppi di coomologia in termini dei polinomi di Hilbert delle varietà secanti prima e seconda dell'immersione definita da $L$.

Metodologia
Gli autori adottano un approccio geometrico che collega lo schema di Hilbert dei punti alle varietà secanti tramite fasci proiettivi e morfismi birazionali.

1. Impostazione Geometrica:

   • Sia $B_k = \mathbb{P}(E_{k+1,L})$ il fascio proiettivo su $X[k+1]$. Il sistema lineare completo del fascio lineare tautologico $\mathcal{O}_{B_k}(1)$ induce un morfismo birazionale $\alpha_{k+1}: B_{k+1} \to \Sigma_k$, dove $\Sigma_k$ è la $k$-esima varietà secante di $X$ immersa in $\mathbb{P}H^0(X, L)$.
   • Per $k=1, 2$, $\alpha_{k+1}$ funge da risoluzione delle singolarità per $\Sigma_k$. Gli autori sfruttano il fatto che, per $L$ sufficientemente positivo, i gruppi di coomologia superiori del fascio strutturale della varietà secante si annullano ($H^i(\Sigma_k, \mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell)) = 0$ per $i>0, \ell>0$).

2. Spettro di Leray e Immagini Dirette:

   • I gruppi di coomologia $H^i(X[k+1], S^\ell E_{k+1,L})$ sono identificati con $H^i(B_{k+1}, \mathcal{O}_{B_{k+1}}(\ell))$.
   • Utilizzando lo spettro di Leray per il morfismo $\alpha_{k+1}$, il problema si riduce al calcolo delle immagini dirette superiori $R^i \alpha_{k+1, *} \mathcal{O}_{B_{k+1}}$.
   • Gli autori calcolano esplicitamente queste immagini dirette analizzando i divisori eccezionali della risoluzione. Per $k=1$ (varietà secante $\Sigma_1$), il divisore eccezionale è la famiglia universale $Z_2$ (la blow-up di $X \times X$ lungo la diagonale). Per $k=2$ (varietà secante $\Sigma_2$), l'analisi coinvolge una sequenza annidata di blow-up e la famiglia universale su $X[3]$.

3. Calcolo dei Polinomi di Hilbert:

   • Una volta determinate le immagini dirette, la caratteristica di Eulero $\chi(\mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell))$ (che coincide con il polinomio di Hilbert $P_{\Sigma_k}(\ell)$ per $\ell \geq 1$) è calcolata tramite successioni esatte corte che relazionano i fasci strutturali delle varietà secanti, i loro luoghi singolari e i fasci proiettivi.
   • Gli autori utilizzano la formula di K"unneth e le proprietà delle blow-up (in particolare relative ai divisori eccezionali $F_1$ e $F_2$) per esprimere queste caratteristiche di Eulero in termini delle caratteristiche di Eulero di prodotti tensoriali di potenze simmetriche del fascio cotangente $\Omega_X$ e potenze di $L$.
   • Infine, viene applicata l'interpolazione di Lagrange ai valori calcolati in specifici punti interi per derivare la forma polinomiale generale per $\ell$ arbitrario.

Risultati Chiave

• Teorema 1.1 (Descrizione della Cohomologia):
  Il lavoro fornisce descrizioni esplicite dei gruppi di coomologia $H^i(X[2], S^\ell E_{2,L})$ e $H^i(X[3], S^\ell E_{3,L})$.

  • Per $X[2]$, la coomologia è non nulla solo per $0 \leq i \leq n$. Il gruppo $H^0$ corrisponde alle sezioni del fascio lineare sulla prima varietà secante $\Sigma_1$, mentre i gruppi superiori sono prodotti tensoriali di $H^i(X, \mathcal{O}_X)$ e sezioni di $\mathcal{O}_X(\ell)$.
  • Per $X[3]$, la coomologia si estende fino a $i=2n$. I gruppi sono espressi come somme dirette che coinvolgono la coomologia di $X$, $X[2]$ e sezioni di fasci lineari su $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$.

• Teorema 1.2 (Polinomi di Hilbert):
  Gli autori derivano formule complete per i polinomi di Hilbert $P_{\Sigma_1}(\ell)$ e $P_{\Sigma_2}(\ell)$.

  • Questi polinomi sono espressi in termini di:
    • $\Gamma = \sum (-1)^n h^p(X, \mathcal{O}_X)$ (relativo alla caratteristica di Eulero olomorfa).
    • $l(a) = \chi(L^a)$.
    • $s_1(a, b) = \chi(S^a \Omega_X \otimes L^b)$.
    • $s_2(a, b, c) = \chi(S^a \Omega_X \otimes S^b \Omega_X \otimes L^c)$.
  • Le formule coinvolgono somme finite e prodotti di questi invarianti, fornendo un'espressione in forma chiusa per la funzione di Hilbert delle varietà secanti.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di fornire una generalizzazione in dimensione superiore dei risultati esistenti nella letteratura, estendendo specificamente [10, Teorema 4.2] e [10, Teorema 4.4], che erano limitati al caso in cui $X$ è una curva.

• Complemento alla Letteratura: I risultati completano gli studi esistenti focalizzati su piccoli $n$ e $\ell$ gestendo $n$ e $\ell$ arbitrari (per $k=1, 2$).
• Generalizzazione delle Formule del Grado: Gli autori notano che, sebbene i gradi di $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$ fossero già noti (citando [11] e [4]), il loro lavoro offre una "generalizzazione di vasta portata" calcolando i polinomi di Hilbert completi, non solo i gradi.
• Contributo Metodologico: Il lavoro dimostra una strategia per calcolare la coomologia delle potenze simmetriche dei fasci tautologici tramite varietà secanti in dimensioni superiori, un compito che richiede argomenti sostanzialmente più complessi rispetto al caso delle curve (dove l'interpolazione di Lagrange su un piccolo intervallo di valori era sufficiente).

Gli autori mantengono un tono modesto riguardo alla portata, notando che l'ipotesi che $L$ sia "sufficientemente positivo" è necessaria per i teoremi di annullamento utilizzati (Teorema 2.2) e che i risultati per $k=1, 2$ sono il focus principale, con una breve discussione sull'estensione del metodo alle superfici con $k$ arbitrario nella Osservazione 3.2.