Hilbert polynomials of the first and second secant varieties

Resumo Técnico: Polinômios de Hilbert das Variedades Secantes de Primeira e Segunda Ordem

Enunciado do Problema
O artigo aborda o cálculo dos grupos de cohomologia das potências simétricas do feixe tautológico $E_{k+1,L}$ no esquema de Hilbert de pontos $X[k+1]$ para uma variedade complexa projetiva suave $X$ de dimensão $n$. Especificamente, os autores focam no caso onde $k=1$ e $k=2$ (correspondendo aos esquemas de Hilbert de 2 e 3 pontos) e um inteiro arbitrário $\ell \geq 1$. O feixe $E_{k+1,L}$ está associado a um feixe de linha suficientemente positivo $L$ em $X$.

Enquanto a literatura anterior estudou extensivamente esses grupos de cohomologia para curvas ($n=1$) ou pequenos valores de $n$ e $\ell$, este trabalho visa a generalização para dimensão arbitrária $n$ e potência simétrica arbitrária $\ell$, sob a suposição de que $L$ é suficientemente positivo. O objetivo final é expressar as dimensões desses grupos de cohomologia em termos dos polinômios de Hilbert das variedades secantes de primeira e segunda ordem da imersão definida por $L$.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem geométrica que liga o esquema de Hilbert de pontos às variedades secantes via feixes projetivos e morfismos birracionais.

1. Configuração Geométrica:

   • Seja $B_k = \mathbb{P}(E_{k+1,L})$ o feixe projetivo sobre $X[k+1]$. O sistema linear completo do feixe de linha tautológico $\mathcal{O}_{B_k}(1)$ induz um morfismo birracional $\alpha_{k+1}: B_{k+1} \to \Sigma_k$, onde $\Sigma_k$ é a $k$-ésima variedade secante de $X$ imersa em $\mathbb{P}H^0(X, L)$.
   • Para $k=1, 2$, $\alpha_{k+1}$ serve como uma resolução de singularidades para $\Sigma_k$. Os autores utilizam o fato de que, para $L$ suficientemente positivo, os grupos de cohomologia superiores do feixe estrutural da variedade secante se anulam ($H^i(\Sigma_k, \mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell)) = 0$ para $i>0, \ell>0$).

2. Sequência Espectral de Leray e Imagens Diretas:

   • Os grupos de cohomologia $H^i(X[k+1], S^\ell E_{k+1,L})$ são identificados com $H^i(B_{k+1}, \mathcal{O}_{B_{k+1}}(\ell))$.
   • Utilizando a sequência espectral de Leray para o morfismo $\alpha_{k+1}$, o problema reduz-se ao cálculo das imagens diretas superiores $R^i \alpha_{k+1, *} \mathcal{O}_{B_{k+1}}$.
   • Os autores calculam explicitamente essas imagens diretas analisando os divisores excepcionais da resolução. Para $k=1$ (variedade secante $\Sigma_1$), o divisor excepcional é a família universal $Z_2$ (a explosão de $X \times X$ ao longo da diagonal). Para $k=2$ (variedade secante $\Sigma_2$), a análise envolve uma sequência aninhada de explosões e a família universal sobre $X[3]$.

3. Cálculo dos Polinômios de Hilbert:

   • Uma vez determinadas as imagens diretas, a característica de Euler $\chi(\mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell))$ (que é igual ao polinômio de Hilbert $P_{\Sigma_k}(\ell)$ para $\ell \geq 1$) é calculada via sequências exatas curtas relacionando os feixes estruturais das variedades secantes, seus lugares singulares e os feixes projetivos.
   • Os autores utilizam a fórmula de K"unneth e propriedades de explosões (especificamente relacionadas aos divisores excepcionais $F_1$ e $F_2$) para expressar essas características de Euler em termos das características de Euler de produtos tensoriais de potências simétricas do feixe cotangente $\Omega_X$ e potências de $L$.
   • Finalmente, a interpolação de Lagrange é aplicada aos valores calculados em pontos inteiros específicos para derivar a forma polinomial geral para $\ell$ arbitrário.

Resultados Principais

• Teorema 1.1 (Descrição da Cohomologia):
  O artigo fornece descrições explícitas dos grupos de cohomologia $H^i(X[2], S^\ell E_{2,L})$ e $H^i(X[3], S^\ell E_{3,L})$.

  • Para $X[2]$, a cohomologia é não nula apenas para $0 \leq i \leq n$. O grupo $H^0$ corresponde às seções do feixe de linha na variedade secante de primeira ordem $\Sigma_1$, enquanto os grupos superiores são produtos tensoriais de $H^i(X, \mathcal{O}_X)$ e seções de $\mathcal{O}_X(\ell)$.
  • Para $X[3]$, a cohomologia se estende até $i=2n$. Os grupos são expressos como somas diretas envolvendo cohomologia de $X$, $X[2]$ e seções de feixes de linha em $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$.

• Teorema 1.2 (Polinômios de Hilbert):
  Os autores derivam fórmulas completas para os polinômios de Hilbert $P_{\Sigma_1}(\ell)$ e $P_{\Sigma_2}(\ell)$.

  • Esses polinômios são expressos em termos de:
    • $\Gamma = \sum (-1)^n h^p(X, \mathcal{O}_X)$ (relacionado à característica de Euler holomorfa).
    • $l(a) = \chi(L^a)$.
    • $s_1(a, b) = \chi(S^a \Omega_X \otimes L^b)$.
    • $s_2(a, b, c) = \chi(S^a \Omega_X \otimes S^b \Omega_X \otimes L^c)$.
  • As fórmulas envolvem somas e produtos finitos desses invariantes, fornecendo uma expressão de forma fechada para a função de Hilbert das variedades secantes.

Significado e Alegações
O artigo alega fornecer uma generalização de dimensão superior de resultados existentes na literatura, especificamente estendendo [10, Teorema 4.2] e [10, Teorema 4.4], que estavam restritos ao caso onde $X$ é uma curva.

• Complemento à Literatura: Os resultados complementam estudos existentes que focaram em pequenos $n$ e $\ell$, ao lidar com $n$ e $\ell$ arbitrários (para $k=1, 2$).
• Generalização de Fórmulas de Grau: Os autores observam que, embora os graus de $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$ fossem previamente conhecidos (citando [11] e [4]), seu trabalho oferece uma "generalização de longo alcance" ao calcular os polinômios de Hilbert completos, não apenas os graus.
• Contribuição Metodológica: O artigo demonstra uma estratégia para calcular a cohomologia de potências simétricas de feixes tautológicos via variedades secantes em dimensões superiores, uma tarefa que requer argumentos substancialmente mais complexos do que o caso das curvas (onde a interpolação de Lagrange em uma pequena faixa de valores era suficiente).

Os autores mantêm um tom modesto quanto ao escopo, observando que a suposição de $L$ ser "suficientemente positivo" é necessária para os teoremas de anulação utilizados (Teorema 2.2) e que os resultados para $k=1, 2$ são o foco principal, com uma breve discussão sobre a extensão do método para superfícies com $k$ arbitrário na Observação 3.2.