Hilbert polynomials of the first and second secant varieties

Resumen Técnico: Polinomios de Hilbert de las Variedades Secantes Primera y Segunda

Enunciado del Problema
El artículo aborda el cálculo de los grupos de cohomología de las potencias simétricas del haz tautológico $E_{k+1,L}$ sobre el esquema de Hilbert de puntos $X[k+1]$ para una variedad compleja proyectiva suave $X$ de dimensión $n$. Específicamente, los autores se centran en el caso donde $k=1$ y $k=2$ (correspondientes a esquemas de Hilbert de 2 y 3 puntos) y un entero arbitrario $\ell \geq 1$. El haz $E_{k+1,L}$ está asociado a un haz de líneas suficientemente positivo $L$ sobre $X$.

Mientras que la literatura previa ha estudiado extensamente estos grupos de cohomología para curvas ($n=1$) o valores pequeños de $n$ y $\ell$, este trabajo tiene como objetivo la generalización a dimensión arbitraria $n$ y potencia simétrica arbitraria $\ell$, bajo la suposición de que $L$ es suficientemente positivo. El objetivo final es expresar las dimensiones de estos grupos de cohomología en términos de los polinomios de Hilbert de las variedades secantes primera y segunda de la inmersión definida por $L$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque geométrico que vincula el esquema de Hilbert de puntos con las variedades secantes mediante haces proyectivos y morfismos birracionales.

1. Configuración Geométrica:

   • Sea $B_k = \mathbb{P}(E_{k+1,L})$ el haz proyectivo sobre $X[k+1]$. El sistema lineal completo del haz de líneas tautológico $\mathcal{O}_{B_k}(1)$ induce un morfismo birracional $\alpha_{k+1}: B_{k+1} \to \Sigma_k$, donde $\Sigma_k$ es la $k$-ésima variedad secante de $X$ inmersa en $\mathbb{P}H^0(X, L)$.
   • Para $k=1, 2$, $\alpha_{k+1}$ sirve como una resolución de singularidades para $\Sigma_k$. Los autores utilizan el hecho de que, para $L$ suficientemente positivo, los grupos de cohomología superiores de la gavilla estructural de la variedad secante se anulan ($H^i(\Sigma_k, \mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell)) = 0$ para $i>0, \ell>0$).

2. Sucesión Espectral de Leray e Imágenes Directas:

   • Los grupos de cohomología $H^i(X[k+1], S^\ell E_{k+1,L})$ se identifican con $H^i(B_{k+1}, \mathcal{O}_{B_{k+1}}(\ell))$.
   • Utilizando la sucesión espectral de Leray para el morfismo $\alpha_{k+1}$, el problema se reduce al cálculo de las imágenes directas superiores $R^i \alpha_{k+1, *} \mathcal{O}_{B_{k+1}}$.
   • Los autores calculan explícitamente estas imágenes directas analizando los divisores excepcionales de la resolución. Para $k=1$ (variedad secante $\Sigma_1$), el divisor excepcional es la familia universal $Z_2$ (la explosión de $X \times X$ a lo largo de la diagonal). Para $k=2$ (variedad secante $\Sigma_2$), el análisis implica una secuencia anidada de explosiones y la familia universal sobre $X[3]$.

3. Cálculo de Polinomios de Hilbert:

   • Una vez determinadas las imágenes directas, la característica de Euler $\chi(\mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell))$ (que es igual al polinomio de Hilbert $P_{\Sigma_k}(\ell)$ para $\ell \geq 1$) se calcula mediante sucesiones exactas cortas que relacionan las gavillas estructurales de las variedades secantes, sus lugares singulares y los haces proyectivos.
   • Los autores utilizan la fórmula de K"unneth y propiedades de las explosiones (específicamente relacionadas con los divisores excepcionales $F_1$ y $F_2$) para expresar estas características de Euler en términos de las características de Euler de productos tensoriales de potencias simétricas del haz cotangente $\Omega_X$ y potencias de $L$.
   • Finalmente, se aplica interpolación de Lagrange a los valores calculados en puntos enteros específicos para derivar la forma polinómica general para $\ell$ arbitrario.

Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Descripción de Cohomología):
  El artículo proporciona descripciones explícitas de los grupos de cohomología $H^i(X[2], S^\ell E_{2,L})$ y $H^i(X[3], S^\ell E_{3,L})$.

  • Para $X[2]$, la cohomología es no nula solo para $0 \leq i \leq n$. El grupo $H^0$ corresponde a las secciones del haz de líneas sobre la primera variedad secante $\Sigma_1$, mientras que los grupos superiores son productos tensoriales de $H^i(X, \mathcal{O}_X)$ y secciones de $\mathcal{O}_X(\ell)$.
  • Para $X[3]$, la cohomología se extiende hasta $i=2n$. Los grupos se expresan como sumas directas que involucran cohomología de $X$, $X[2]$ y secciones de haces de líneas sobre $\Sigma_1$ y $\Sigma_2$.

• Teorema 1.2 (Polinomios de Hilbert):
  Los autores derivan fórmulas completas para los polinomios de Hilbert $P_{\Sigma_1}(\ell)$ y $P_{\Sigma_2}(\ell)$.

  • Estos polinomios se expresan en términos de:
    • $\Gamma = \sum (-1)^n h^p(X, \mathcal{O}_X)$ (relacionado con la característica de Euler holomorfa).
    • $l(a) = \chi(L^a)$.
    • $s_1(a, b) = \chi(S^a \Omega_X \otimes L^b)$.
    • $s_2(a, b, c) = \chi(S^a \Omega_X \otimes S^b \Omega_X \otimes L^c)$.
  • Las fórmulas involucran sumas y productos finitos de estos invariantes, proporcionando una expresión de forma cerrada para la función de Hilbert de las variedades secantes.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar una generalización de dimensión superior de los resultados existentes en la literatura, específicamente extendiendo [10, Teorema 4.2] y [10, Teorema 4.4], los cuales estaban restringidos al caso donde $X$ es una curva.

• Complemento a la Literatura: Los resultados complementan estudios existentes que se centraron en $n$ y $\ell$ pequeños al manejar $n$ y $\ell$ arbitrarios (para $k=1, 2$).
• Generalización de Fórmulas de Grado: Los autores señalan que, aunque los grados de $\Sigma_1$ y $\Sigma_2$ eran conocidos previamente (citando [11] y [4]), su trabajo ofrece una "generalización de gran alcance" al calcular los polinomios de Hilbert completos, no solo los grados.
• Contribución Metodológica: El artículo demuestra una estrategia para calcular la cohomología de potencias simétricas de haces tautológicos mediante variedades secantes en dimensiones superiores, una tarea que requiere argumentos sustancialmente más complejos que el caso de curvas (donde la interpolación de Lagrange en un pequeño rango de valores era suficiente).

Los autores mantienen un tono modesto respecto al alcance, señalando que la suposición de que $L$ es "suficientemente positivo" es necesaria para los teoremas de anulación utilizados (Teorema 2.2) y que los resultados para $k=1, 2$ son el enfoque principal, con una breve discusión sobre la extensión del método a superficies con $k$ arbitrario en la Observación 3.2.