Hilbert polynomials of the first and second secant varieties

技术摘要：第一和第二割线簇的希尔伯特多项式

问题陈述
本文旨在计算光滑射影复簇 $X$（维数为 $n$）的希尔伯特点概型 $X[k+1]$ 上，由 $L$ 定义的充分正线丛所关联的典范丛 $E_{k+1,L}$ 的对称幂的上同调群。具体而言，作者聚焦于 $k=1$ 和 $k=2$（分别对应 2 点和 3 点的希尔伯特概型）以及任意整数 $\ell \geq 1$ 的情形。丛 $E_{k+1,L}$ 与 $X$ 上的一个充分正线丛 $L$ 相关联。

虽然既往文献已对曲线情形（$n=1$）或较小的 $n$ 和 $\ell$ 值下的这些上同调群进行了广泛研究，但本工作旨在将结果推广至任意维数 $n$ 和任意对称幂 $\ell$，前提是假设 $L$ 是充分正的。最终目标是用由 $L$ 定义的嵌入的第一和第二割线簇的希尔伯特多项式来表达这些上同调群的维数。

方法论
作者采用了一种几何方法，通过射影丛和双有理态射将希尔伯特点概型与割线簇联系起来。

1. 几何设定：

   • 令 $B_k = \mathbb{P}(E_{k+1,L})$ 为 $X[k+1]$ 上的射影丛。典范线丛 $\mathcal{O}_{B_k}(1)$ 的完全线性系统诱导了一个双有理态射 $\alpha_{k+1}: B_{k+1} \to \Sigma_k$，其中 $\Sigma_k$ 是嵌入在 $\mathbb{P}H^0(X, L)$ 中的 $X$ 的第 $k$ 个割线簇。
   • 对于 $k=1, 2$，$\alpha_{k+1}$ 充当 $\Sigma_k$ 的奇点消解。作者利用了这样一个事实：对于充分正的 $L$，割线簇结构层的上同调群消失（即对于 $i>0, \ell>0$，有 $H^i(\Sigma_k, \mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell)) = 0$）。

2. 勒雷谱序列与直接像：

   • 上同调群 $H^i(X[k+1], S^\ell E_{k+1,L})$ 被识别为 $H^i(B_{k+1}, \mathcal{O}_{B_{k+1}}(\ell))$。
   • 利用态射 $\alpha_{k+1}$ 的勒雷谱序列，问题简化为计算高阶直接像 $R^i \alpha_{k+1, *} \mathcal{O}_{B_{k+1}}$。
   • 作者通过分析消解的例外除子显式地计算了这些直接像。对于 $k=1$（割线簇 $\Sigma_1$），例外除子是万有族 $Z_2$（即沿对角线对 $X \times X$ 的吹胀）。对于 $k=2$（割线簇 $\Sigma_2$），分析涉及嵌套的吹胀序列以及 $X[3]$ 上的万有族。

3. 希尔伯特多项式的计算：

   • 一旦确定了直接像，便通过联系割线簇结构层、其奇点轨迹以及射影丛的短正合序列，计算欧拉示性数 $\chi(\mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell))$（对于 $\ell \geq 1$，其等于希尔伯特多项式 $P_{\Sigma_k}(\ell)$）。
   • 作者利用库恩内公式和吹胀的性质（特别是与例外除子 $F_1$ 和 $F_2$ 相关的性质），将这些欧拉示性数表示为余切丛 $\Omega_X$ 的对称幂与 $L$ 的幂的张量积的欧拉示性数。
   • 最后，对特定整数点计算出的值应用拉格朗日插值法，推导出任意 $\ell$ 的一般多项式形式。

主要结果

• 定理 1.1（上同调描述）：
  本文提供了 $H^i(X[2], S^\ell E_{2,L})$ 和 $H^i(X[3], S^\ell E_{3,L})$ 上同调群的显式描述。

  • 对于 $X[2]$，上同调仅在 $0 \leq i \leq n$ 时非零。群 $H^0$ 对应于第一割线簇 $\Sigma_1$ 上线丛的截面，而高阶群则是 $H^i(X, \mathcal{O}_X)$ 与 $\mathcal{O}_X(\ell)$ 截面的张量积。
  • 对于 $X[3]$，上同调延伸至 $i=2n$。这些群被表示为涉及 $X$ 和 $X[2]$ 的上同调以及 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 上线丛截面的直和。

• 定理 1.2（希尔伯特多项式）：
  作者推导出了希尔伯特多项式 $P_{\Sigma_1}(\ell)$ 和 $P_{\Sigma_2}(\ell)$ 的完整公式。

  • 这些多项式表示为以下各项的函数：
    • $\Gamma = \sum (-1)^n h^p(X, \mathcal{O}_X)$（与全纯欧拉示性数相关）。
    • $l(a) = \chi(L^a)$。
    • $s_1(a, b) = \chi(S^a \Omega_X \otimes L^b)$。
    • $s_2(a, b, c) = \chi(S^a \Omega_X \otimes S^b \Omega_X \otimes L^c)$。
  • 这些公式涉及这些不变量的有限和与积，为割线簇的希尔伯特函数提供了闭式表达式。

意义与主张
本文声称提供了现有文献中结果的更高维推广，特别是扩展了仅限于 $X$ 为曲线情形的 [10, 定理 4.2] 和 [10, 定理 4.4]。

• 对文献的补充： 这些结果补充了现有研究，后者主要关注较小的 $n$ 和 $\ell$，而本文处理了任意的 $n$ 和 $\ell$（针对 $k=1, 2$）。
• 次数公式的推广： 作者指出，虽然 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 的次数此前已知（引用 [11] 和 [4]），但他们的工作通过计算完整的希尔伯特多项式（而不仅仅是次数）提供了“深远的推广”。
• 方法论贡献： 本文展示了一种通过割线簇计算高维空间中典范丛对称幂上同调的策略，这项任务需要比曲线情形（仅需在较小数值范围内进行拉格朗日插值）更为复杂的论证。

作者在范围方面保持了谦逊的态度，指出假设 $L$ 是“充分正的”对于所使用的消失定理（定理 2.2）是必要的，并且 $k=1, 2$ 的结果是主要焦点，同时在备注 3.2 中简要讨论了将该方法推广到任意 $k$ 的曲面的情形。