Hilbert polynomials of the first and second secant varieties

Résumé technique : Polynômes de Hilbert des variétés sécanentes première et seconde

Énoncé du problème
L'article traite du calcul des groupes de cohomologie des puissances symétriques du fibré tautologique $E_{k+1,L}$ sur le schéma de Hilbert des points $X[k+1]$ pour une variété complexe projective lisse $X$ de dimension $n$. Plus précisément, les auteurs se concentrent sur le cas où $k=1$ et $k=2$ (correspondant aux schémas de Hilbert de 2 et 3 points) et un entier arbitraire $\ell \geq 1$. Le fibré $E_{k+1,L}$ est associé à un fibré en droites suffisamment positif $L$ sur $X$.

Alors que la littérature antérieure a étudié de manière approfondie ces groupes de cohomologie pour les courbes ($n=1$) ou de petites valeurs de $n$ et $\ell$, ce travail vise la généralisation à une dimension $n$ arbitraire et à une puissance symétrique $\ell$ arbitraire, sous l'hypothèse que $L$ est suffisamment positif. L'objectif ultime est d'exprimer les dimensions de ces groupes de cohomologie en termes des polynômes de Hilbert des variétés sécanentes première et seconde de l'immersion définie par $L$.

Méthodologie
Les auteurs adoptent une approche géométrique reliant le schéma de Hilbert des points aux variétés sécanentes via des fibrés projectifs et des morphismes birationnels.

1. Configuration géométrique :

   • Soit $B_k = \mathbb{P}(E_{k+1,L})$ le fibré projectif au-dessus de $X[k+1]$. Le système linéaire complet du fibré en droites tautologique $\mathcal{O}_{B_k}(1)$ induit un morphisme birationnel $\alpha_{k+1}: B_{k+1} \to \Sigma_k$, où $\Sigma_k$ est la $k$-ième variété sécante de $X$ plongée dans $\mathbb{P}H^0(X, L)$.
   • Pour $k=1, 2$, $\alpha_{k+1}$ sert de résolution des singularités pour $\Sigma_k$. Les auteurs exploitent le fait que, pour $L$ suffisamment positif, les groupes de cohomologie supérieurs du faisceau structural de la variété sécante s'annulent ($H^i(\Sigma_k, \mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell)) = 0$ pour $i>0, \ell>0$).

2. Suite spectrale de Leray et images directes :

   • Les groupes de cohomologie $H^i(X[k+1], S^\ell E_{k+1,L})$ sont identifiés à $H^i(B_{k+1}, \mathcal{O}_{B_{k+1}}(\ell))$.
   • En utilisant la suite spectrale de Leray pour le morphisme $\alpha_{k+1}$, le problème se réduit au calcul des images directes supérieures $R^i \alpha_{k+1, *} \mathcal{O}_{B_{k+1}}$.
   • Les auteurs calculent explicitement ces images directes en analysant les diviseurs exceptionnels de la résolution. Pour $k=1$ (variété sécante $\Sigma_1$), le diviseur exceptionnel est la famille universelle $Z_2$ (l'éclatement de $X \times X$ le long de la diagonale). Pour $k=2$ (variété sécante $\Sigma_2$), l'analyse implique une séquence imbriquée d'éclatements et la famille universelle au-dessus de $X[3]$.

3. Calcul des polynômes de Hilbert :

   • Une fois les images directes déterminées, la caractéristique d'Euler $\chi(\mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell))$ (qui égale le polynôme de Hilbert $P_{\Sigma_k}(\ell)$ pour $\ell \geq 1$) est calculée via des suites exactes courtes reliant les faisceaux structuraux des variétés sécanentes, de leurs lieux singuliers et des fibrés projectifs.
   • Les auteurs utilisent la formule de K"unneth et les propriétés des éclatements (spécifiquement relatives aux diviseurs exceptionnels $F_1$ et $F_2$) pour exprimer ces caractéristiques d'Euler en termes des caractéristiques d'Euler des produits tensoriels de puissances symétriques du fibré cotangent $\Omega_X$ et des puissances de $L$.
   • Enfin, l'interpolation de Lagrange est appliquée aux valeurs calculées en des points entiers spécifiques pour déduire la forme polynomiale générale pour $\ell$ arbitraire.

Résultats clés

• Théorème 1.1 (Description de la cohomologie) :
  L'article fournit des descriptions explicites des groupes de cohomologie $H^i(X[2], S^\ell E_{2,L})$ et $H^i(X[3], S^\ell E_{3,L})$.

  • Pour $X[2]$, la cohomologie est non nulle uniquement pour $0 \leq i \leq n$. Le groupe $H^0$ correspond aux sections du fibré en droites sur la première variété sécante $\Sigma_1$, tandis que les groupes supérieurs sont des produits tensoriels de $H^i(X, \mathcal{O}_X)$ et de sections de $\mathcal{O}_X(\ell)$.
  • Pour $X[3]$, la cohomologie s'étend jusqu'à $i=2n$. Les groupes sont exprimés comme des sommes directes impliquant la cohomologie de $X$, de $X[2]$ et des sections de fibrés en droites sur $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$.

• Théorème 1.2 (Polynômes de Hilbert) :
  Les auteurs dérivent des formules complètes pour les polynômes de Hilbert $P_{\Sigma_1}(\ell)$ et $P_{\Sigma_2}(\ell)$.

  • Ces polynômes sont exprimés en termes de :
    • $\Gamma = \sum (-1)^n h^p(X, \mathcal{O}_X)$ (lié à la caractéristique d'Euler holomorphe).
    • $l(a) = \chi(L^a)$.
    • $s_1(a, b) = \chi(S^a \Omega_X \otimes L^b)$.
    • $s_2(a, b, c) = \chi(S^a \Omega_X \otimes S^b \Omega_X \otimes L^c)$.
  • Les formules impliquent des sommes et des produits finis de ces invariants, fournissant une expression sous forme close pour la fonction de Hilbert des variétés sécanentes.

Portée et affirmations
L'article prétend fournir une généralisation en dimension supérieure des résultats existants dans la littérature, étendant spécifiquement [10, Théorème 4.2] et [10, Théorème 4.4] qui étaient restreints au cas où $X$ est une courbe.

• Complément à la littérature : Les résultats complètent les études existantes qui se concentraient sur de petites valeurs de $n$ et $\ell$ en traitant $n$ et $\ell$ arbitraires (pour $k=1, 2$).
• Généralisation des formules de degré : Les auteurs notent que, bien que les degrés de $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ fussent déjà connus (citant [11] et [4]), leur travail offre une « généralisation de grande portée » en calculant les polynômes de Hilbert complets, et non seulement les degrés.
• Contribution méthodologique : L'article démontre une stratégie pour calculer la cohomologie des puissances symétriques de fibrés tautologiques via les variétés sécanentes en dimensions supérieures, une tâche qui nécessite des arguments nettement plus complexes que dans le cas des courbes (où l'interpolation de Lagrange sur une petite plage de valeurs suffisait).

Les auteurs maintiennent un ton modeste concernant la portée, notant que l'hypothèse de $L$ étant « suffisamment positif » est nécessaire pour les théorèmes d'annulation utilisés (Théorème 2.2) et que les résultats pour $k=1, 2$ constituent l'objectif principal, avec une brève discussion sur l'extension de la méthode aux surfaces avec $k$ arbitraire dans la Remarque 3.2.