Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent

Sintesi Tecnica: Trascendenza e Misure tramite l'Esponente Diofantino Raffinato

Enunciato del Problema
Il saggio affronta le proprietà diofantine dei numeri reali $\xi = \sum_{i \ge 0} a_i \beta^{-i}$, dove i coefficienti $a_i$ formano una parola infinita su un insieme finito di interi (o $S$-interi) e $\beta$ è un numero algebrico con $|\beta| > 1$. Il problema centrale è determinare la trascendenza di $\xi$ ed estendere le misure di trascendenza quantitative (limiti sulla capacità di $\xi$ di essere approssimato da numeri algebrici).

Gli approcci classici, in particolare quelli di Adamczewski e Bugeaud, utilizzano l'esponente Diofantino ($Dio(a)$) per misurare la periodicità della parola dei coefficienti $a$. Se $Dio(a)$ è sufficientemente grande rispetto all'altezza di $\beta$, $\xi$ è o algebrico (di una forma ristretta) o trascendente. Tuttavia, l'esponente classico richiede la ripetizione esatta di sottoparole. Questa rigidità limita la sua applicabilità a parole in cui la ripetizione è "oscurata" dal rumore o dove la ripetizione è solo approssimativa (ad esempio, in certi sistemi dinamici o parole con specifiche strutture combinatorie come le sequenze lacunari). Sebbene lavori precedenti (Corvaja-Zannier, Bell-Diller-Jonsson, Kebis-Luca-Ouaknine-Scoones-Worrell) abbiano affrontato casi specifici utilizzando applicazioni del Teorema del Sottospazio in dimensioni superiori, mancava un quadro unificato capace di gestire la ripetizione "rumorosa" preservando al contempo la forza della classica dicotomia.

Metodologia
L'autore introduce un nuovo invariante combinatorio, l'Esponente Diofantino Raffinato ($Rdio(a)$), che generalizza il classico $Dio(a)$.

1. Definizione di $(\epsilon, \delta)$-chiusura: Invece di richiedere che due sottoparole siano identiche, la nuova definizione permette che esse differiscano su un insieme di indici che può essere coperto da $\delta$ intervalli con una lunghezza totale al massimo pari a $\epsilon$ volte la lunghezza della parola. Ciò modella il "rumore" o i disallineamenti.
2. Esponente Raffinato: $Rdio(a)$ è il supremo di $\rho$ tale che la parola $a$ contenga sottoparole che soddisfano questa condizione di ripetizione approssimativa con un tasso di crescita $t_n \ge \rho s_n$.
3. Applicazione del Teorema del Sottospazio:
   • Qualitativa (Teorema A): La dimostrazione adatta il Teorema del Sottospazio $p$-adico. I "disallineamenti" (rumore) sono trattati come variabili aggiuntive nelle forme lineari. Costruendo un sistema di forme lineari che coinvolgono $\xi$, le sue approssimazioni razionali e i termini di disallineamento, l'autore dimostra che se $\xi$ è algebrico, i coefficienti dei termini di disalleineamento devono annullarsi, forzando $\xi$ in una forma algebrica ristretta.
   • Quantitativa (Teorema B): Per derivare le misure di trascendenza, l'autore utilizza il Teorema del Sottospazio Quantitativo di Evertse. Ciò richiede il controllo della crescita delle sequenze $(r_n, s_n, t_n)$ e dell'altezza delle approssimazioni. La dimostrazione prevede la costruzione di approssimazioni razionali dense e la limitazione del numero di soluzioni delle risultanti disuguaglianze, portando a limiti inferiori espliciti per $|\xi - \alpha|_v$.
4. Classificazione di Mahler: I risultati sono interpretati all'interno della classificazione di Mahler dei numeri trascendenti ($A, S, T, U$), distinguendo tra numeri con esponenti di approssimazione finiti o infiniti.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema A (Dicotomia della Trascendenza): Se $Rdio(a) > \frac{\log H(\beta)}{\log |\beta|_v}$, allora $\xi$ appartiene al campo numerico $K$ (e di una forma molto ristretta) oppure è trascendente. Questo unifica ed estende i risultati precedenti di Adamczewski-Bugeaud, Corvaja-Zannier e altri, mostrando che il "rumore" nella ripetizione non impedisce la rilevazione della trascendenza.
• Teorema B (Misura di Trascendenza): Sotto condizioni asintotiche più forti (Condizione $(**)_\rho$), il saggio stabilisce un limite inferiore quantitativo per $|\xi - \alpha|_v$. Nello specifico, per $\alpha$ algebrico $\notin K$ di grado $d$ e altezza $H(\alpha)$, $|\xi - \alpha|_v \ge H(\alpha)^{-(2d)^c (\log 4d)(\log \log 4d)}$. Ciò implica che $\xi$ è o un numero $U_d$ (per piccoli $d$) o un numero $S$- o $T$-numero.
• Teorema C (Numeri Lacunari): Per serie lacunari $\xi = \sum a_i \beta^{-u_i}$, il saggio fornisce una dicotomia basata sulla crescita dei gap $u_{i+1}/u_i$. Se i gap crescono in modo super-esponenziale, $\xi$ è un numero $U_d$; altrimenti, è un numero $S$- o $T$-numero. Questo migliora i risultati precedenti rimuovendo il requisito che i coefficienti siano $S$-interi.
• Teorema D (Parole Sturmiane e $k$-bonacci): Per $\beta$ che è un numero Pisot di grado al massimo 2, il saggio dimostra che i numeri generati da parole sturmiane (con quozienti parziali limitati) e parole $k$-bonacci sono numeri $S$- o $T$-numeri. Ciò viene ottenuto combinando i risultati dell'esponente raffinato con le approssimazioni razionali dense costruite tramite le proprietà di queste parole.

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire un quadro unificato che recupera ed estende i risultati di trascendenza esistenti per varie classi di parole infinite (lacunari, stuttering, echoing e quelle derivanti dalla dinamica algebrica).

• Robustezza: La principale significatività è la capacità di gestire la ripetizione "rumorosa". L'esponente raffinato $Rdio(a)$ rileva la periodicità anche quando le sottoparole non sono identiche, uno scenario in cui il classico $Dio(a)$ potrebbe fallire (ad esempio, dove $Dio(a)=1$ mentre $Rdio(a)=\infty$).
• Raffinamento Quantitativo: Il lavoro va oltre la trascendenza qualitativa per fornire misure di trascendenza esplicite, classificando i numeri risultanti all'interno della gerarchia di Mahler.
• Connessione con la Dinamica: La metodologia è motivata e si connette ai recenti progressi nella dinamica algebrica (Bell, Diller, Jonsson), specificamente riguardo alla trascendenza dei gradi dinamici.
• Limitazioni: L'autore nota con modestia che, sebbene il metodo produca risultati più deboli rispetto all'approccio classico dei padé-approssimanti (che richiede equazioni funzionali), esso si applica a famiglie incontabili di funzioni ed è robusto sotto perturbazioni. Inoltre, sebbene il metodo stabilisca che i numeri non sono $U_1$ o $U_2$ in certi casi, determinare se siano $U_d$ per $d$ più elevati rimane difficile quando l'esponente diofantino classico è finito.

In sintesi, il saggio fa avanzare il campo generalizzando i criteri combinatori per la trascendenza per includere ripetizioni approssimative, ampliando così l'ambito dei numeri per i quali è possibile stabilire efficacemente la trascendenza e le misure di trascendenza.