Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent

Resumen Técnico: Trascendencia y Medidas mediante el Exponente Diofántico Refinado

Planteamiento del Problema
El artículo aborda las propiedades diofánticas de los números reales $\xi = \sum_{i \ge 0} a_i \beta^{-i}$, donde los coeficientes $a_i$ forman una palabra infinita sobre un conjunto finito de enteros (o $S$-enteros) y $\beta$ es un número algebraico con $|\beta| > 1$. El problema central es determinar la trascendencia de $\xi$ y establecer medidas de trascendencia cuantitativas (límites sobre qué tan bien puede ser aproximado $\xi$ por números algebraicos).

Los enfoques clásicos, notablemente los de Adamczewski y Bugeaud, utilizan el exponente diofántico ($Dio(a)$) para medir la periodicidad de la palabra de coeficientes $a$. Si $Dio(a)$ es suficientemente grande en relación con la altura de $\beta$, $\xi$ es algebraico (de una forma restringida) o trascendente. Sin embargo, el exponente clásico requiere la repetición exacta de subpalabras. Esta rigidez limita su aplicabilidad a palabras donde la repetición está "oscurecida" por ruido o donde la repetición es solo aproximada (por ejemplo, en ciertos sistemas dinámicos o palabras con estructuras combinatorias específicas como secuencias lacunarias). Aunque trabajos previos (Corvaja-Zannier, Bell-Diller-Jonsson, Kebis-Luca-Ouaknine-Scoones-Worrell) han abordado casos específicos utilizando aplicaciones del Teorema de Subespacios en dimensiones superiores, faltaba un marco unificado capaz de manejar la repetición "con ruido" preservando al mismo tiempo la fuerza de la dicotomía clásica.

Metodología
El autor introduce un nuevo invariante combinatorio, el Exponente Diofántico Refinado ($Rdio(a)$), que generaliza al $Dio(a)$ clásico.

1. Definición de $(\epsilon, \delta)$-cerradura: En lugar de requerir que dos subpalabras sean idénticas, la nueva definición permite que difieran en un conjunto de índices que pueden ser cubiertos por $\delta$ intervalos con una longitud total de máximo $\epsilon$ veces la longitud de la palabra. Esto modela el "ruido" o los desajustes.
2. Exponente Refinado: $Rdio(a)$ es el supremo de $\rho$ tal que la palabra $a$ contiene subpalabras que satisfacen esta condición de repetición aproximada con una tasa de crecimiento $t_n \ge \rho s_n$.
3. Aplicación del Teorema de Subespacios:
   • Cualitativa (Teorema A): La demostración adapta el Teorema de Subespacios $p$-ádico. Los "desajustes" (ruido) se tratan como variables adicionales en las formas lineales. Al construir un sistema de formas lineales que involucra a $\xi$, sus aproximaciones racionales y los términos de desajuste, el autor muestra que si $\xi$ es algebraico, los coeficientes de los términos de desajuste deben anularse, forzando a $\xi$ a una forma algebraica muy restringida.
   • Cuantitativa (Teorema B): Para derivar medidas de trascendencia, el autor emplea el Teorema de Subespacios Cuantitativo de Evertse. Esto requiere controlar el crecimiento de las secuencias $(r_n, s_n, t_n)$ y la altura de las aproximaciones. La demostración implica la construcción de aproximaciones racionales densas y la limitación del número de soluciones a las desigualdades resultantes, lo que conduce a cotas inferiores explícitas para $|\xi - \alpha|_v$.
4. Clasificación de Mahler: Los resultados se interpretan dentro de la clasificación de Mahler de los números trascendentes ($A, S, T, U$), distinguiendo entre números con exponentes de aproximación finitos o infinitos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema A (Dicotomía de Trascendencia): Si $Rdio(a) > \frac{\log H(\beta)}{\log |\beta|_v}$, entonces $\xi$ pertenece al cuerpo numérico $K$ (y de una forma muy restringida) o es trascendente. Esto unifica y extiende resultados previos de Adamczewski-Bugeaud, Corvaja-Zannier y otros, demostrando que el "ruido" en la repetición no impide la detección de la trascendencia.
• Teorema B (Medida de Trascendencia): Bajo condiciones asintóticas más fuertes (Condición $(**)_\rho$), el autor establece una cota inferior cuantitativa para $|\xi - \alpha|_v$. Específicamente, para $\alpha$ algebraico $\notin K$ de grado $d$ y altura $H(\alpha)$, $|\xi - \alpha|_v \ge H(\alpha)^{-(2d)^c (\log 4d)(\log \log 4d)}$. Esto implica que $\xi$ es un número $U_d$ (para $d$ pequeño) o un número $S$ o $T$.
• Teorema C (Números Lacunarios): Para series lacunarias $\xi = \sum a_i \beta^{-u_i}$, el artículo proporciona una dicotomía basada en el crecimiento de las brechas $u_{i+1}/u_i$. Si las brechas crecen super-exponencialmente, $\xi$ es un número $U_d$; de lo contrario, es un número $S$ o $T$. Esto mejora los límites previos al eliminar el requisito de que los coeficientes sean $S$-enteros.
• Teorema D (Palabras Esturmianas y $k$-bonacci): Para $\beta$ siendo un número de Pisot de grado a lo sumo 2, el artículo demuestra que los números generados por palabras esturmianas (con cocientes parciales acotados) y palabras $k$-bonacci son números $S$ o $T$. Esto se logra combinando los resultados del exponente refinado con aproximaciones racionales densas construidas mediante las propiedades de estas palabras.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un marco unificado que recupera y extiende los resultados de trascendencia existentes para diversas clases de palabras infinitas (lacunarias, de tartamudeo, de eco y aquellas provenientes de la dinámica algebraica).

• Robustez: La principal significancia es la capacidad de manejar la repetición "con ruido". El exponente refinado $Rdio(a)$ detecta la periodicidad incluso cuando las subpalabras no son idénticas, un escenario donde el $Dio(a)$ clásico podría fallar (por ejemplo, donde $Dio(a)=1$ mientras que $Rdio(a)=\infty$).
• Refinamiento Cuantitativo: El trabajo va más allá de la trascendencia cualitativa para proporcionar medidas de trascendencia explícitas, clasificando los números resultantes dentro de la jerarquía de Mahler.
• Conexión con la Dinámica: La metodología está motivada y conecta con avances recientes en la dinámica algebraica (Bell, Diller, Jonsson), específicamente respecto a la trascendencia de los grados dinámicos.
• Limitaciones: El autor señala modestamente que, si bien el método produce resultados más débiles que el enfoque clásico de los aproximantes de Padé (que requiere ecuaciones funcionales), es aplicable a familias incontables de funciones y es robusto ante perturbaciones. Además, aunque el método establece que los números no son $U_1$ o $U_2$ en ciertos casos, determinar si son $U_d$ para grados $d$ superiores sigue siendo difícil cuando el exponente diofántico clásico es finito.

En resumen, el artículo avanza en el campo al generalizar los criterios combinatorios de trascendencia para incluir repeticiones aproximadas, ampliando así el alcance de los números para los cuales se pueden establecer eficazmente la trascendencia y las medidas de trascendencia.