Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent

Resumo Técnico: Transcendência e Medidas via o Expoente Diofântico Refinado

Enunciado do Problema
O artigo aborda as propriedades diofânticas de números reais $\xi = \sum_{i \ge 0} a_i \beta^{-i}$, onde os coeficientes $a_i$ formam uma palavra infinita sobre um conjunto finito de inteiros (ou $S$-inteiros) e $\beta$ é um número algébrico com $|\beta| > 1$. O problema central é determinar a transcendência de $\xi$ e estabelecer medidas de transcendência quantitativas (limites para o quão bem $\xi$ pode ser aproximado por números algébricos).

Abordagens clássicas, notadamente as de Adamczewski e Bugeaud, utilizam o expoente diofântico ($Dio(a)$) para medir a periodicidade da palavra dos coeficientes $a$. Se $Dio(a)$ for suficientemente grande em relação à altura de $\beta$, $\xi$ é ou algébrico (de uma forma restrita) ou transcendente. No entanto, o expoente clássico exige a repetição exata de subpalavras. Essa rigidez limita sua aplicabilidade a palavras onde a repetição é "obscurecida" por ruído ou onde a repetição é apenas aproximada (por exemplo, em certos sistemas dinâmicos ou palavras com estruturas combinatórias específicas como sequências lacunares). Embora trabalhos anteriores (Corvaja-Zannier, Bell-Diller-Jonsson, Kebis-Luca-Ouaknine-Scoones-Worrell) tenham abordado casos específicos usando aplicações do Teorema do Subespaço de dimensões superiores, faltava um quadro unificado capaz de lidar com a repetição "ruidosa" enquanto preservava a força do clássico díctico.

Metodologia
O autor introduz um novo invariante combinatório, o Expoente Diofântico Refinado ($Rdio(a)$), que generaliza o $Dio(a)$ clássico.

1. Definição de $(\epsilon, \delta)$-fechamento: Em vez de exigir que duas subpalavras sejam idênticas, a nova definição permite que elas difiram em um conjunto de índices que pode ser coberto por $\delta$ intervalos com comprimento total de no máximo $\epsilon$ vezes o comprimento da palavra. Isso modela "ruído" ou incompatibilidades.
2. Expoente Refinado: $Rdio(a)$ é o supremo de $\rho$ tal que a palavra $a$ contém subpalavras satisfazendo esta condição de repetição aproximada com uma taxa de crescimento $t_n \ge \rho s_n$.
3. Aplicação do Teorema do Subespaço:
   • Qualitativa (Teorema A): A prova adapta o Teorema do Subespaço $p$-ádico. As "incompatibilidades" (ruído) são tratadas como variáveis adicionais nas formas lineares. Ao construir um sistema de formas lineares envolvendo $\xi$, suas aproximações racionais e os termos de incompatibilidade, o autor mostra que, se $\xi$ for algébrico, os coeficientes dos termos de incompatibilidade devem desaparecer, forçando $\xi$ a entrar em uma forma algébrica restrita.
   • Quantitativa (Teorema B): Para derivar medidas de transcendência, o autor emprega o Teorema do Subespaço Quantitativo de Evertse. Isso requer controlar o crescimento das sequências $(r_n, s_n, t_n)$ e a altura das aproximações. A prova envolve a construção de aproximações racionais densas e o controle do número de soluções para as desigualdades resultantes, levando a limites inferiores explícitos para $|\xi - \alpha|_v$.
4. Classificação de Mahler: Os resultados são interpretados dentro da classificação de Mahler de números transcendentais ($A, S, T, U$-números), distinguindo números com expoentes de aproximação finitos ou infinitos.

Contribuições Principais e Resultados

• Teorema A (Dicotomia de Transcendência): Se $Rdio(a) > \frac{\log H(\beta)}{\log |\beta|_v}$, então $\xi$ pertence ao corpo numérico $K$ (e de uma forma muito restrita) ou é transcendente. Isso unifica e estende resultados anteriores de Adamczewski-Bugeaud, Corvaja-Zannier e outros, mostrando que o "ruído" na repetição não impede a detecção da transcendência.
• Teorema B (Medida de Transcendência): Sob condições assintóticas mais fortes (Condição $(**)_\rho$), o artigo estabelece um limite inferior quantitativo para $|\xi - \alpha|_v$. Especificamente, para $\alpha \notin K$ algébrico de grau $d$ e altura $H(\alpha)$, $|\xi - \alpha|_v \ge H(\alpha)^{-(2d)^c (\log 4d)(\log \log 4d)}$. Isso implica que $\xi$ é um $U_d$-número (para $d$ pequeno) ou um $S$- ou $T$-número.
• Teorema C (Números Lacunares): Para séries lacunares $\xi = \sum a_i \beta^{-u_i}$, o artigo fornece uma dicotomia baseada no crescimento das lacunas $u_{i+1}/u_i$. Se as lacunas crescem super-exponencialmente, $\xi$ é um $U_d$-número; caso contrário, é um $S$- ou $T$-número. Isso melhora os limites anteriores ao remover a exigência de que os coeficientes sejam $S$-inteiros.
• Teorema D (Palavras Sturmian e $k$-bonacci): Para $\beta$ sendo um número Pisot de grau no máximo 2, o artigo prova que números gerados por palavras Sturmian (com quocientes parciais limitados) e palavras $k$-bonacci são $S$- ou $T$-números. Isso é alcançado combinando os resultados do expoente refinado com aproximações racionais densas construídas via as propriedades dessas palavras.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um quadro unificado que recupera e estende resultados de transcendência existentes para várias classes de palavras infinitas (lacunares, stuttering, echoing e aquelas provenientes de dinâmica algébrica).

• Robustez: A principal significância é a capacidade de lidar com a repetição "ruidosa". O expoente refinado $Rdio(a)$ detecta periodicidade mesmo quando as subpalavras não são idênticas, um cenário onde o $Dio(a)$ clássico pode falhar (ex: $Dio(a)=1$ enquanto $Rdio(a)=\infty$).
• Refinamento Quantitativo: O trabalho vai além da transcendência qualitativa para fornecer medidas de transcendência explícitas, classificando os números resultantes dentro da hierarquia de Mahler.
• Conexão com a Dinâmica: A metodologia é motivada por e conecta-se a avanços recentes em dinâmica algébrica (Bell, Diller, Jonsson), especificamente em relação à transcendência de graus dinâmicos.
• Limitações: O autor nota modestamente que, embora o método produza resultados mais fracos do que a abordagem clássica de aproximantes de Padé (que exige equações funcionais), ele se aplica a famílias incontáveis de funções e é robusto sob perturbações. Além disso, embora o método estabeleça que números não são $U_1$ ou $U_2$ em certos casos, determinar se são $U_d$ para graus $d$ mais altos permanece difícil quando o expoente diofântico clássico é finito.

Em resumo, o artigo avança o campo ao generalizar os critérios combinatórios para transcendência para incluir repetições aproximadas, ampliando assim o escopo de números para os quais a transcendência e as medidas de transcendência podem ser efetivamente estabelecidas.