Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent

Résumé Technique : Transcendance et Mesures via l'Exposant Diophantien Raffiné

Énoncé du Problème
L'article traite des propriétés diophantiennes des nombres réels $\xi = \sum_{i \ge 0} a_i \beta^{-i}$, où les coefficients $a_i$ forment un mot infini sur un ensemble fini d'entiers (ou d'entiers $S$) et $\beta$ est un nombre algébrique avec $|\beta| > 1$. Le problème central est de déterminer la transcendance de $\xi$ et d'établir des mesures de transcendance quantitatives (bornes sur la qualité avec laquelle $\xi$ peut être approché par des nombres algébriques).

Les approches classiques, notamment celles d'Adamczewski et Bugeaud, utilisent l'exposant diophantien ($Dio(a)$) pour mesurer la périodicité du mot de coefficients $a$. Si $Dio(a)$ est suffisamment grand par rapport à la hauteur de $\beta$, $\xi$ est soit algébrique (de une forme restreinte), soit transcendant. Cependant, l'exposant classique exige une répétition exacte des sous-mots. Cette rigidité limite son applicabilité aux mots où la répétition est « obscurcie » par du bruit ou lorsque la répétition n'est qu'approximative (par exemple, dans certains systèmes dynamiques ou des mots possédant des structures combinatoires spécifiques comme les séquences lacunaires). Bien que des travaux antérieurs (Corvaja-Zannier, Bell-Diller-Jonsson, Kebis-Luca-Ouaknine-Scoones-Worrell) aient traité des cas spécifiques en utilisant des applications du Théorème des Sous-Espaces en dimension supérieure, un cadre unifié capable de gérer la répétition « bruitée » tout en préservant la force de la dichotomie classique faisait défaut.

Méthodologie
L'auteur introduit un nouvel invariant combinatoire, l'Exposant Diophantien Raffiné ($Rdio(a)$), qui généralise le $Dio(a)$ classique.

1. Définition de la $(\epsilon, \delta)$-fermeture : Au lieu d'exiger que deux sous-mots soient identiques, la nouvelle définition permet qu'ils diffèrent sur un ensemble d'indices pouvant être couvert par $\delta$ intervalles dont la longueur totale ne dépasse pas $\epsilon$ fois la longueur du mot. Cela modélise le « bruit » ou les décalages.
2. Exposant Raffiné : $Rdio(a)$ est le supremum de $\rho$ tel que le mot $a$ contient des sous-mots satisfaisant cette condition de répétition approximative avec un taux de croissance $t_n \ge \rho s_n$.
3. Application du Théorème des Sous-Espaces :
   • Qualitatif (Théorème A) : La preuve adapte le Théorème des Sous-Espaces $p$-adique. Les « décalages » (bruit) sont traités comme des variables supplémentaires dans les formes linéaires. En construisant un système de formes linéaires impliquant $\xi$, ses approximations rationnelles et les termes de décalage, l'auteur montre que si $\xi$ est algébrique, les coefficients des termes de décalage doivent s'annuler, forçant $\xi$ à adopter une forme algébrique très restreinte.
   • Quantitatif (Théorème B) : Pour dériver des mesures de transcendance, l'auteur emploie le Théorème des Sous-Espaces Quantitatif d'Evertse. Cela nécessite de contrôler la croissance des séquences $(r_n, s_n, t_n)$ et la hauteur des approximations. La preuve consiste à construire des approximations rationnelles denses et à borner le nombre de solutions des inégalités résultantes, menant à des bornes inférieures explicites pour $|\xi - \alpha|_v$.
4. Classification de Mahler : Les résultats sont interprétés dans le cadre de la classification de Mahler des nombres transcendants ($A, S, T, U$), distinguant les nombres ayant des exposants d'approximation finis ou infinis.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème A (Dichotomie de Transcendance) : Si $Rdio(a) > \frac{\log H(\beta)}{\log |\beta|_v}$, alors $\xi$ appartient soit au corps de nombres $K$ (et possède une forme très restreinte), soit est transcendant. Cela unifie et étend les résultats précédents d'Adamczewski-Bugeaud, Corvaja-Zannier, et d'autres, montrant que le « bruit » dans la répétition n'empêche pas la détection de la transcendance.
• Théorème B (Mesure de Transcendance) : Sous des conditions asymptotiques plus fortes (Condition $(**)_\rho$), l'auteur établit une borne inférieure quantitative pour $|\xi - \alpha|_v$. Plus précisément, pour $\alpha$ algébrique $\notin K$ de degré $d$ et de hauteur $H(\alpha)$, $|\xi - \alpha|_v \ge H(\alpha)^{-(2d)^c (\log 4d)(\log \log 4d)}$. Cela implique que $\xi$ est soit un nombre $U_d$ (pour de petits $d$), soit un nombre $S$ ou $T$.
• Théorème C (Nombres Lacunaires) : Pour les séries lacunaires $\xi = \sum a_i \beta^{-u_i}$, l'article fournit une dichotomie basée sur la croissance des écarts $u_{i+1}/u_i$. Si les écarts croissent de manière super-exponentielle, $\xi$ est un nombre $U_d$ ; sinon, il est un nombre $S$ ou $T$. Cela améliore les bornes précédentes en supprimant l'exigence que les coefficients soient des entiers $S$.
• Théorème D (Mots Sturmian et $k$-bonacci) : Pour $\beta$ étant un nombre de Pisot de degré au plus 2, l'article prouve que les nombres générés par des mots sturmiens (avec des quotients partiels bornés) et des mots $k$-bonacci sont des nombres $S$ ou $T$. Ceci est réalisé en combinant les résultats de l'exposant raffiné avec des approximations rationnelles denses construites via les propriétés de ces mots.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir un cadre unifié qui récupère et étend les résultats de transcendance existants pour diverses classes de mots infinis (lacunaires, bégayants, échos et ceux issus de la dynamique algébrique).

• Robustesse : La principale signification est la capacité de gérer la répétition « bruitée ». L'exposant raffiné $Rdio(a)$ détecte la périodicité même lorsque les sous-mots ne sont pas identiques, un scénario où l'exposant classique $Dio(a)$ pourrait échouer (par exemple, $Dio(a)=1$ alors que $Rdio(a)=\infty$).
• Raffinement Quantitatif : Le travail va au-delà de la transcendance qualitative pour fournir des mesures de transcendance explicites, classant les nombres résultants au sein de la hiérarchie de Mahler.
• Connexion avec la Dynamique : La méthodologie est motivée par et se connecte aux percées récentes en dynamique algébrique (Bell, Diller, Jonsson), spécifiquement concernant la transcendance des degrés dynamiques.
• Limitations : L'auteur note modestement que bien que la méthode produise des résultats plus faibles que l'approche classique des approximants de Padé (qui nécessite des équations fonctionnelles), elle s'applique à des familles de fonctions non dénombrables et est robuste face aux perturbations. De plus, bien que la méthode établisse que les nombres ne sont pas $U_1$ ou $U_2$ dans certains cas, déterminer s'ils sont $U_d$ pour des $d$ plus élevés reste difficile lorsque l'exposant diophantien classique est fini.

En résumé, cet article fait progresser le domaine en généralisant les critères combinatoires de la transcendance pour inclure les répétitions approximatives, élargissant ainsi la portée des nombres pour lesquels la transcendance et les mesures de transcendance peuvent être effectivement établies.