Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent

技术摘要：通过改进的丢番图指数研究超越性与度量

问题陈述
本文探讨了实数 $\xi = \sum_{i \ge 0} a_i \beta^{-i}$ 的丢番图性质，其中系数 $a_i$ 是有限整数集（或 $S$-整数）上的无限字，且 $\beta$ 是一个满足 $|\beta| > 1$ 的代数数。核心问题在于确定 $\xi$ 的超越性，并建立定量超越度量（即 $\xi$ 被代数数逼近的程度的界限）。

经典的近似方法，特别是 Adamczewski 和 Bugeaud 的方法，利用丢番图指数 ($Dio(a)$) 来衡量系数词的周期性。如果$Dio(a)$相对于$\beta$的高度足够大，则$\xi$ 要么是代数数（具有受限的形式），要么是超越数。然而，经典指数要求子词必须精确重复。这种刚性限制了其在子词重复被“噪声”掩盖，或重复仅为近似（例如在某些动力系统或具有特定组合结构如空缺序列的词中）时的适用性。虽然之前的研究（Corvaja-Zannier, Bell-Diller-Jonsson, Kebis-Luca-Ouaknine-Scoones-Worrell）通过更高维度的子空间定理应用处理了特定情况，但仍缺乏一个能够处理“噪声”重复同时保持经典二分法强度的统一框架。

方法论
作者引入了一种新的组合不变量——改进的丢番图指数 ($Rdio(a)$)，它推广了经典的$Dio(a)$。

1. $(\epsilon, \delta)$-封闭性的定义： 不同于要求两个子词完全相同，新定义允许它们在由 $\delta$ 个区间覆盖且总长度不超过词长度的 $\epsilon$ 倍的索引集上存在差异。这模拟了“噪声”或不匹配。
2. 改进指数： $Rdio(a)$是满足该近似重复条件且增长率$t_n \ge \rho s_n$的$\rho$ 的上确界。
3. 子空间定理的应用：
   • 定性方面（定理 A）： 证明过程适配了 $p$-进子空间定理。通过将“不匹配”（噪声）视为线性型中的额外变量，作者构造了一个包含 $\xi$、其有理逼近以及不匹配项的线性型系统，从而证明如果 $\xi$ 是代数的，则不匹配项的系数必须为零，从而迫使 $\xi$ 进入一种受限的代数形式。
   • 定量方面（定理 B）： 为了导出超越度量，作者采用了 Evertse 的定量子空间定理。这需要控制序列 $(r_n, s_n, t_n)$ 的增长以及逼近的高度。证明过程涉及构造稠密有理逼近，并界定由此产生的不等式解的数量，从而得出 $|\xi - \alpha|_v$ 的显式下界。
4. Mahler 分类： 研究结果在 Mahler 的超越数分类（$A, S, T, U$-数）框架内进行了解释，区分了具有有限或无限逼近指数的数字。

主要贡献与结果

• 定理 A（超越性二分法）： 如果 $Rdio(a) > \frac{\log H(\beta)}{\log |\beta|_v}$，则 $\xi$ 要么属于数域 $K$（且具有非常受限的形式），要么是超越数。这统一并扩展了 Adamczewski-Bugeaud, Corvaja-Zannier 等人的研究结果，表明“噪声”中的重复并不会阻碍超越性的检测。
• 定理 B（超越度量）： 在更强的渐近条件（条件 $(**)_\rho$）下，本文建立了 $|\xi - \alpha|_v$ 的定量下界。具体而言，对于不属于 $K$ 的度数为 $d$ 且高度为 $H(\alpha)$ 的代数数 $\alpha$，有 $|\xi - \alpha|_v \ge H(\alpha)^{-(2d)^c (\log 4d)(\log \log 4d)}$。这意味着 $\xi$ 要么是 $U_d$-数（对于较小的 $d$），要么是 $S$-数或 $T$-数。
• 定理 C（空缺数）： 对于空缺级数 $\xi = \sum a_i \beta^{-u_i}$，本文根据间隙 $u_{i+1}/u_i$ 的增长提供了一个二分法。如果间隙呈超指数增长，则 $\xi$ 是 $U_d$-数；否则，它是 $S$-数或 $T$-数。这通过移除对系数必须为 $S$-整数的要求，改进了先前的界限。
• 定理 D（Sturmian 与 $k$-bonacci 词）： 当 $\beta$ 为次数至多为 2 的 Pisot 数时，本文证明了由 Sturmian 词（具有有界部分商）和 $k$-bonacci 词生成的数是 $S$-数或 $T$-数。这是通过结合改进指数的结果与利用这些词的性质构造的稠密有理逼近来实现的。

意义与主张
本文声称提供了一个统一框架，该框架回收并扩展了现有的针对各类无限词（空缺、重复、回声及来自代数动力学的词）的超越性研究结果。

• 鲁棒性： 其主要意义在于能够处理“噪声”重复。改进的指数 $Rdio(a)$即使在子词不完全相同时也能检测出周期性，而这在经典$Dio(a)$下可能会失效（例如$Dio(a)=1$但$Rdio(a)=\infty$ 的情况）。
• 定量精细化： 本工作超越了定性超越性，提供了显式的超越度量，并在 Mahler 层级体系内对这些数进行了分类。
• 与动力学的联系： 该方法论受到近期代数动力学突破（Bell, Diller, Jonsson）的启发，并与之相关联，特别是关于动力学次数的超越性问题。
• 局限性： 作者谦逊地指出，虽然该方法产生的结果比经典的 Padé 近似法（需要泛函方程）稍弱，但它适用于不可数个函数族，并且在扰动下具有鲁棒性。此外，虽然该方法在某些情况下确定了它们不是 $U_1$ 或 $U_2$ 数，但在经典丢番图指数有限时，确定它们是否为更高阶的 $U_d$ 数仍然很困难。

总而言之，本文通过将超越性的组合判据推广到包括近似重复在内的情形，从而拓宽了可以有效建立超越性及其超越度量的数字范围。