Spatial Capture-Recapture With Penalized Regression Splines to Flexibly Model Wildlife Density and Distribution

Sintesi Tecnica: Spatial Capture-Recapture con Spline di Regressione Penalizzate

Enunciato del Problema
I modelli di cattura-ritrovamento spaziale (Spatial Capture-Recapture, SCR) sono strumenti standard per stimare l'abbondanza e la distribuzione della fauna selvatica, basandosi su un processo puntuale spaziale latente per descrivere i centri di attività degli animali. I modelli SCR tradizionali tipicamente assumono che i centri di attività seguano un processo di Poisson omogeneo o disomogeneo. Tale assunzione implica l'indipendenza condizionale tra le posizioni degli animali data la funzione di intensità. Tuttavia, nella pratica, questa indipendenza è spesso violata da fattori non osservati come il raggruppamento sociale, la territorialità o la selezione preferenziale dell'habitat guidata da covariate non misurate.

Sebbene i processi di Cox Log-Gaussiani (LGCP) siano comunemente utilizzati nella statistica spaziale per modellare tale raggruppamento e l'eterogeneità non osservata, gli attuali framework SCR mancano di metodi per adattare gli LGCP. Inoltre, gli approtti flessibili esistenti all'interno degli SCR, come le spline di regressione non penalizzate, richiedono agli analisti di specificare manualmente la fluidità (ad esempio, tramite la selezione dei nodi e il numero di funzioni di base), portando spesso a problemi di overfitting o sottosmoothing quando selezionati tramite criteri informativi come l'AIC. È necessario un framework che possa simultaneamente modellare effetti non lineari delle covariate e la dipendenza spaziale (raggruppamento) senza richiedere la selezione manuale della fluidità, rimanendo al contempo computazionalmente fattibile nonostante la natura latente dei centri di attività.

Metodologia
Gli autori propongono un nuovo framework SCR che integra le spline di regressione penalizzate per modellare la funzione di intensità dei centri di attività degli animali. Questo approccio consente l'uso di LGCP all'interno degli SCR, estendendo efficacemente il processo di Poisson disomogeneo attraverso l'aggiunta di un campo casuale Gaussiano latente.

Componenti metodologiche chiave:

• Formulazione del Modello: La funzione di intensità, $\log\{D(s)\}$, è modellata utilizzando una combinazione di effetti fissi per le covariate spaziali e spline di regressione penalizzate. Queste spline possono modellare effetti fluidi e non lineari delle covariate o effetti spaziali fluidi sulle coordinate $x$ e $y$ (questi ultimi che inducono una struttura LGCP).
• Costruzione della Verosimiglianza: Poiché i centri di attività sono latenti, la verosimiglianza richiede l'integrazione su tutte le possibili posizioni. Nei modelli Poisson SCR standard, questo integrale si separa in $n$ integrali bidimensionali grazie all'indipendenza. Nel framework LGCP proposto, la dipendenza da un campo Gaussiano latente impedisce questa separazione, risultando in un integrale complesso e ad alta dimensionalità.
• Approssimazione e Ottimizzazione: Per gestire l'integrale intrattabile sul campo casuale latente, gli autori impiegano un approccio di massima verosimiglianza marginale penalizzata basato sull'approssimazione di Laplace. Il campo casuale Gaussiano viene approssimato utilizzando funzioni di base, riducendo l'integrale a dimensionalità infinita a un integrale a dimensionalità finita sui coefficienti della spline.
• Implementazione: Il metodo utilizza il pacchetto R TMB (Template Model Builder), che sfrutta la differenziazione automatica per calcolare efficientemente l'approssimazione di Laplace e ottimizzare la verosimiglianza penalizzata. Ciò consente la stima sia degli effetti fissi che dei parametri di smoothing (componenti di varianza) all'interno di un unico modello.

Contributi Chiave

1. Prima Implementazione di Spline Penalizzate in SCR: Questo articolo presenta la prima implementazione delle spline di regressione penalizzate per il modello di processo puntuale negli SCR, consentendo l'adattamento di LGCP.
2. Modellazione Flessibile: Il framework consente la modellazione flessibile di effetti non lineari delle covariate spaziali sulla densità e tiene conto del raggruppamento spaziale che non può essere spiegato dalle covariate osservate.
3. Fattibilità Computazionale: Combinando l'approssimazione di Laplace con la differenziazione automatica tramite TMB, gli autori forniscono un metodo computazionalmente efficiente per adattare questi modelli complessi, superando le sfide dei pattern puntuali latenti.
4. Disponibilità del Software: Gli autori forniscono funzioni R (specificamente fit.scr.smooth()) compatibili con la sintassi di mgcv, rendendo il metodo accessibile ai professionisti.

Risultati
Gli autori valutano il metodo proposto attraverso uno studio di simulazione e due casi studio:

• Studio di Simulazione: Gli autori hanno simulato dati con una relazione non lineare nota (Holling di Tipo III) tra una covariata e la densità.

  • I modelli log-lineari tradizionali (SCR-I) e i modelli omogenei (SCR-H) hanno mostrato bias, con i modelli log-lineari che sovrastimavano ai valori estremi della covariata e sottostimavano nei valori intermedi.
  • Il modello proposto con spline penalizzate (SCR-S) ha recuperato fedelmente la vera relazione non lineare e la vera superficie di intensità, producendo l'Errore Quadratico Integrato (ISE) più basso.
  • Un modello che utilizzava solo lo smoothing spaziale senza covariate (SCR-LGCP) ha catturato i trend su larga scala ma ha faticato con le variazioni su piccola scala rispetto al modello di spline informato dalle covariate.
  • Crucialmente, mentre le stime della distribuzione variavano significativamente tra i modelli, le stime della dimensione della popolazione sono rimaste robuste in tutti i modelli, confermando i risultati precedenti secondo cui le stime di abbondanza sono meno sensibili alla misspecificazione del modello di densità rispetto alle stime di distribuzione.

• Caso Studio 1: Dati di Trappole a Esche per Peli di Orso Nero:

  • Applicato a dati provenienti dalla Louisiana, USA. Il modello ha adattato un effetto spaziale fluido (LGCP) per tenere conto della struttura spaziale osservata.
  • La dimensione totale stimata della popolazione ($\hat{N} = 50$) era identica a un'analisi precedente che utilizzava un processo di Poisson omogeneo, confermando la robustezza delle stime di abbondanza.
  • Tuttavia, il nuovo modello ha fornito un'inferenza più appropriata riguardo alla distribuzione spaziale degli orsi, riflettendo il raggruppamento osservato che il modello omogeneo non riusciva a catturare.

• Caso Studio 2: Dati di Indagine Acustica dei Gibbons:

  • Applicato a dati provenienti dal Santuario della Fauna Selvatica di Phnom Prich, Cambogia. Il modello includeva effetti fissi per il tipo di foresta e una spline penalizzata per la distanza dai villaggi, insieme a uno smoothing spaziale.
  • A differenza di un modello log-lineare standard (SCR-I) che imponeva un effetto lineare globale della distanza dai villaggi, la spline penalizzata (SCR-S) ha rivelato un effetto locale che si appiattiva oltre i 10 km.
  • Le stime della distribuzione spaziale differivano marcatamente: il modello log-lineare prevedeva alte densità in frammenti di foresta densa dove non sono stati rilevati gibboni, mentre il modello a spline penalizzata ha identificato correttamente sacche di alta densità e aree di quasi totale inabitabilità, allineandosi meglio ai dati osservati.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori affermano che il loro metodo offre una "via promettente" per utilizzare processi spaziali più flessibili per modellare la dipendenza tra le posizioni dei centri di attività. La principale significatività risiede nella capacità di:

1. Migliorare l'Inferenza della Distribuzione: Mentre gli approcci tradizionali producono stime robuste della dimensione della popolazione anche con modelli di densità misspecificati, il metodo proposto migliora sostanzialmente la stima delle distribuzioni spaziali degli animali, aspetto critico per la pianificazione e la gestione della conservazione.
2. Incorporare il Realismo Biologico: Il framework consente l'incorporazione di relazioni non lineari biologicamente realistiche (ad esempio, effetti locali del disturbo umano) che i modelli lineari globali non possono catturare.
3. Gestire il Raggruppamento Non Osservato: Utilizzando gli LGCP, il metodo tiene conto del raggruppamento spaziale derivante da covariate non osservate o meccanismi sociali, riducendo il bias e la significatività spuria nelle stime degli effetti fissi.

Gli autori osservano che, sebbene il metodo migliori la modellazione della distribuzione, l'interpretazione delle superfici di intensità risultanti richiede cautela, poiché è difficile distinguere tra variazione spaziale sistematica (incertezza epistemica) e raggruppamento stocastico (incertezza aleatoria) da una singola realizzazione. Suggeriscono che la conoscenza del dominio o i dati longitudinali siano necessari per una piena interpretazione. L'articolo conclude che questo approccio è particolarmente prezioso per i rilievi che coprono ampie regioni eterogenee, come i rilievi con fototrappole e acustici.