A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators

Problematica
Questa nota affronta il problema dell'approssimazione diamente attraverso la restrizione dei denominatori delle frazioni razionali a un sottoinsieme specifico $A$ dei numeri naturali $\mathbb{N}$. Mentre il teorema di approssimazione di Dirichlet garantisce che per ogni irrazionale $\xi$, esistano infinitamente molte coppie coprime $(p, q)$ soddisfacendo $|\xi - p/q| < 1/q^2$, l'autore indaga se sia possibile ottenere un limite simile quando $q$ è vincolato a appartenere a un sottoinsieme $A \subseteq \mathbb{N}$. La ricerca precedente in questo ambito, come il lavoro di Matomäki sui denominatori limitati ai numeri primi, si è basata pesantemente sulla teoria analitica dei numeri. Questo articolo cerca di approcciare il problema attraverso una lente combinatoria, introducendo una specifica nozione di densità.

Metodologia
L'autore introduce una definizione combinatoria di "densità diamente" per i sottoinsiemi di $\mathbb{N}$ e utilizza la teoria elementare dei numeri e le proprietà delle frazioni continue per stabilire i risultati.

1. Definizione di Densità di Diamente: Un insieme $A \subseteq \mathbb{N}$ è definito avere una densità di diamente $\delta \in [0, 1]$ se esiste una costante $C > 0$ tale che per ogni coppia coprime $(p, q)$ sufficientemente grande, la distanza minima da $vp/q$ al numero intero più vicino, minimizzata su $v \in A$ con $v \le q$, sia limitata da $C/q^\delta$.

   • Osservazione: L'autore dimostra che qualsiasi insieme con densità di diamente positiva deve essere infinito.

2. Costruzione Combinatoria (Teorema 4): Il documento stabilisce un metodo per costruire insiemi con densità di diamente specifiche analizzando il complemento di insiemi con crescita controllata. Nello specifico, se un insieme $A$ ha una funzione di conteggio $A(n) \ll n^\delta$, allora il suo complemento $\mathbb{N} \setminus A$ possiede una densità di diamente pari a $1 - \delta$. Ciò viene dimostrato analizzando la distribuzione del multinsieme $\{ \|kp/q\| : 1 \le k \le q \}$ e mostrando che la rimozione degli elementi corrispondenti ad $A$ lascia un elemento minimo limitato dalla densità dell'insieme rimosso.

3. Applicazione all'Approssimazione (Teorema 3): Utilizzando la definizione di densità, l'autore deriva un analogo ristretto del teorema di Dirichlet. Se $A$ ha una densità di diamente $\delta > 0$, allora per ogni irrazionale $\xi$ ed $\epsilon > 0$, esistono infinitamente molte coppie coprime $(u, v) \in \mathbb{Z} \times A$ tali che $|\xi - u/v| < 1/v^{1+\delta-\epsilon}$. La prova si basa sui convergenti di $\xi$ e sulla disuguaglianza triangolare, dimostrando che la condizione di densità assicura l'esistenza di infinitamente molte coppie coprime distinte.

Risultati Chiave

• Teorema 3 (Dirichlet Ristretto): Se un sottoinsieme $A \subseteq \mathbb{N}$ ha una densità di diamente $\delta > 0$, allora per ogni irrazionale $\xi$, esistono infinitamente molte approssimazioni con denominatori in $A$ soddisfacendo $|\xi - u/v| < v^{-(1+\delta-\epsilon)}$.
• Teorema 4 (Densità dei Complementi): Se un insieme $A$ soddisfa $A(n) \ll n^\delta$, allora il complemento $\mathbb{N} \setminus A$ ha una densità di diamente $1 - \delta$.
• Teorema 5 (Sequenze di Piatetski-Shapiro): Applicando i teoremi precedenti alle sequenze di Piatetski-Shapiro $PSc = \{\lfloor n^c \rfloor\}_{n \ge 1}$ (dove $c > 1$), l'autore mostra che l'insieme di interi che evitano queste sequenze permette approssimazioni con un limite di errore di $|\xi - p/q| < q^{-(2 - 1/c - \epsilon)}$.
  • Esempio: Per $c=2$ (evitando i quadrati perfetti), il limite è $q^{-(3/2 - \epsilon)}$.

Significatività e Limitazioni
Il documento sostiene che la sua significatività risieda nel fornire un "approccio combinatorio" all'approssimazione diamente ristretta, contrapponendosi ai metodi della "teoria analitica dei numeri" usati in lavori precedenti (ad es. Vinogradov, Matomäki). Esso stabilisce un legame diretto tra il tasso di crescita della funzione di conteggio di un insieme e la qualità delle approssimazioni di diamente possibili utilizzando il suo complemento.

Tuttavia, l'autore è modesto riguardo all'ambito di questi risultati. Il documento afferma esplicitamente che i metodi sono "troppo grossolani" per recuperare risultati più forti noti per specifici insiemi sparsi, come l'insieme dei numeri primi. Applicando il Teorema 4, l'autore nota che l'insieme dei numeri primi ha una densità di diamente pari a 0 (poiché l'insieme dei composti ha densità 1), rendendo il Teorema 3 inapplicabile ai numeri primi. Pertanto, il lavoro è presentato come un quadro generale per sottoinsiemi "sufficientemente densi" piuttosto che come una soluzione per i casi più difficili di insiemi molto sparsi.