A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators

Énoncé du problème
Cette note traite du problème de l'approximation diophantienne lorsque les dénominateurs des nombres rationnels approchants sont restreints à un sous-ensemble spécifique $A$ des entiers naturels $\mathbb{N}$. Alors que le théorème d'approximation de Dirichlet garantit que pour tout nombre irrationnel $\xi$, il existe une infinité de paires coprimes $(p, q)$ satisfaisant $|\xi - p/q| < 1/q^2$, l'auteur examine si une telle borne peut être atteinte lorsque $q$ est contraint à appartenir à un sous-ensemble $A \subseteq \mathbb{N}$. L'article reconnaît que si $A$ est trop creux, la borne $q^{-2}$ est probablement inatteignable. Les recherches antérieures dans ce domaine, telles que les travaux de Matomäki sur les dénominateurs restreints aux nombres premiers, se sont largement appuyées sur la théorie analytique des nombres. Cet article cherche à aborder le problème à travers un prisme combinatoire en introduisant une notion spécifique de densité.

Méthodologie
L'auteur introduit une définition combinatoire de la « densité diophantienne » pour les sous-ensembles de $\mathbb{N}$ et utilise la théorie élémentaire des nombres ainsi que les propriétés des fractions continues pour établir des résultats.

1. Définition de la densité diophantienne : Un ensemble $A \subseteq \mathbb{N}$ est défini comme ayant une densité diophantienne $\delta \in [0, 1]$ s'il existe une constante $C > 0$ telle que pour toute paire coprimes $(p, q)$ suffisamment grande, la distance minimale de $vp/q$ à l'entier le plus proche, minimisée sur $v \in A$ avec $v \le q$, est bornée par $C/q^\delta$.

   • Remarque : L'auteur prouve que tout ensemble possédant une densité diophantienne positive doit être infini.

2. Construction combinatoire (Théorème 4) : L'article établit une méthode pour construire des ensembles ayant des densités diophantiennes spécifiques en analysant le complément des ensembles à croissance contrôlée. Plus précisément, si un ensemble $A$ possède une fonction de comptage $A(n) \ll n^\delta$, alors son complément $\mathbb{N} \setminus A$ possède une densité diophantienne de $1 - \delta$. Ceci est prouvé en analysant la distribution du multiensemble $\{ \|kp/q\| : 1 \le k \le q \}$ et en montrant que la suppression des éléments correspondant à $A$ laisse un élément minimum borné par la densité de l'ensemble retiré.

3. Application à l'approximation (Théorème 3) : En utilisant la définition de la densité, l'auteur dérive un analogue restreint du théorème de Dirichlet. Si $A$ a une densité diophantienne $\delta > 0$, alors pour tout irrationnel $\xi$ et $\epsilon > 0$, il existe une infinité de paires coprimes $(u, v) \in \mathbb{Z} \times A$ telles que $|\xi - u/v| < 1/v^{1+\delta-\epsilon}$. La preuve repose sur les convergents de $\xi$ et l'inégalité triangulaire, démontrant que la condition de densité assure l'existence d'une infinité de paires coprimes distinctes.

Résultats clés

• Théorème 3 (Dirichlet restreint) : Si un sous-ensemble $A \subseteq \mathbb{N}$ a une densité diophantienne $\delta > 0$, alors pour tout irrationnel $\xi$, il existe une infinité d'approximations avec des dénominateurs dans $A$ satisfaisant $|\xi - u/v| < v^{-(1+\delta-\epsilon)}$.
• Théorème 4 (Densité des compléments) : Si un ensemble $A$ satisfait $A(n) \ll n^\delta$, alors le complément $\mathbb{N} \setminus A$ a une densité diophantienne de $1 - \delta$.
• Théorème 5 (Suites de Piatetski-Shapiro) : En appliquant les théorèmes précédents aux suites de Piatetski-Shapiro $PSc = \{\lfloor n^c \rfloor\}_{n \ge 1}$ (où $c > 1$), l'auteur montre que l'ensemble des entiers évitant ces suites permet des approximations avec une borne d'erreur de $|\xi - p/q| < q^{-(2 - 1/c - \epsilon)}$.
  • Exemple : Pour $c=2$ (évitant les carrés parfaits), la borne est $q^{-(3/2 - \epsilon)}$.

Signification et limites
L'article revendique une importance dans le fait de fournir une « approche combinatoire » de l'approximation diophantienne restreinte, contrastant avec les méthodes de la « théorie analytique des nombres » utilisées dans les travaux antérieurs (par exemple, Vinogradov, Matomäki). Il établit un lien direct entre le taux de croissance de la fonction de comptage d'un ensemble et la qualité des approximations diophantiennes possibles en utilisant son complément.

Cependant, l'auteur est modeste quant à la portée de ces résultats. L'article stipule explicitement que les méthodes sont « trop grossières » pour récupérer des résultats plus forts connus pour des ensembles creux spécifiques, tels que l'ensemble des nombres premiers. En appliquant le Théorème 4, l'auteur note que l'ensemble des nombres premiers a une densité diophantienne de 0 (puisque l'ensemble des composés a une densité de 1), rendant le Théorème 3 inapplicable aux nombres premiers. Ainsi, le travail est présenté comme un cadre général pour des sous-ensembles « suffisamment denses » plutôt que comme une solution aux cas les plus difficiles des ensembles creux.