A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators

问题陈述
本笔记探讨了当近似有理数的分母被限制在自然数 $\mathbb{N}$ 的特定子集 $A$ 中时的丢番图逼近问题。虽然狄利克雷逼近定理保证了对于任何无理数 $\xi$，都存在无穷多对互质对 $(p, q)$ 满足 $|\xi - p/q| < 1/q^2$，但作者研究了当 $q$ 被限制在集合 $A \subseteq \mathbb{N}$ 内时，是否仍能实现类似的界限。本文承认，如果 $A$ 过于稀疏，则 $q^{-2}$ 的界限可能无法达到。该领域的前人研究（例如 Matomäki 关于分母限制在素数集上的工作）在很大程度上依赖于解析数论。本文试图通过引入一种特定的密度概念，从组合的角度来研究这一问题。

方法论
作者为 $\mathbb{N}$ 的子集引入了一个组合性的“丢番图密度”定义，并利用初等数论和连分数性质来建立结果。

1. 丢番图密度的定义： 若存在常数 $C > 0$，使得对于每一个足够大的互质对 $(p, q)$，在满足 $v \le q$ 的 $v \in A$ 中，最小的 $vp/q$到最近整数的距离被限制在$C/q^\delta$以内，则称集合$A \subseteq \mathbb{N}$具有丢番图密度$\delta \in [0, 1]$。

   • 备注： 作者证明了任何具有正丢番图密度的集合必须是无穷集。

2. 组合构造（定理 4）： 本文通过分析受控增长集的补集，建立了一种构造具有特定丢番图密度集合的方法。具体而言，如果集合 $A$ 的计数函数满足 $A(n) \ll n^\delta$，那么其补集 $\mathbb{N} \setminus A$ 拥有丢番图密度 $1 - \delta$。这是通过分析多重集 $\{ \|kp/q\| : 1 \le k \le q \}$ 的分布，并证明移除与 $A$ 相关的元素后，剩余元素的最小值受限于被移除集合的密度来证明的。

3. 对逼近的应用（定理 3）： 利用密度的定义，作者推导出了一个受限的狄利克雷定理类似物。如果 $A$ 具有丢番图密度 $\delta > 0$，那么对于任何无理数 $\xi$ 和 $\epsilon > 0$，存在无穷多对互质对 $(u, v) \in \mathbb{Z} \times A$，使得 $|\xi - u/v| < 1/v^{1+\delta-\epsilon}$。该证明依赖于 $\xi$ 的渐近分数和三角不等式，表明密度条件确保了存在无穷多个不同的互质对。

主要结果

• 定理 3（受限狄利克雷）： 若子集 $A \subseteq \mathbb{N}$ 具有丢番图密度 $\delta > 0$，则对于任何无理数 $\xi$，存在无穷多个分母在 $A$ 中的近似满足 $|\xi - u/v| < v^{-(1+\delta-\epsilon)}$。
• 定理 4（补集的密度）： 若集合 $A$ 满足 $A(n) \ll n^\delta$，则补集 $\mathbb{N} \setminus A$ 具有丢番图密度 $1 - \delta$。
• 定理 5（Piatetski-Shapiro 序列）： 通过将上述定理应用于 Piatetski-Shapiro 序列 $PSc = \{\lfloor n^c \rfloor\}_{n \ge 1}$（其中 $c > 1$），作者表明，避开这些序列的整数集允许误差界限为 $|\xi - p/q| < q^{-(2 - 1/c - \epsilon)}$。
  • 示例： 对于 $c=2$（避开完全平方数），该界限为 $q^{-(3/2 - \epsilon)}$。

意义与局限性
本文声称其意义在于提供了一种“组合方法”来进行受限的丢番图逼近，这与先前工作中使用的“解析数论”方法（如 Vinogradov, Matomäki）形成了对比。它建立了集合计数函数的增长率与使用其补集进行丢番图逼近的质量之间的直接联系。

然而，作者对其结果的范围持谦逊态度。文中明确指出，这些方法“过于粗糙”，无法恢复对于特定稀疏集（如素数集）已知的更强结果。通过应用定理 4，作者指出素数集的丢番图密度为 0（因为合数集的密度为 1），从而使得定理 3 对素数集不再适用。因此，这项工作被呈现为一个针对“足够稠密”子集的通用框架，而非解决最困难的稀疏集问题的方案。