A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators

Planteamiento del Problema
Esta nota aborda el problema de la aproximación diofántica cuando los denominadores de los números racionales que aproximan están restringidos a un subconjunto específico $A$ de los números naturales $\mathbb{N}$. Mientras que el teorema de aproximación de Dirichlet garantiza que para cualquier irracional $\xi$, existen infinitos pares coprimos $(p, q)$ que satisfacen $|\xi - p/q| < 1/q^2$, el autor investiga si se puede lograr un límite similar cuando $q$ está restringido a pertenecer a un subconjunto $A \subseteq \mathbb{N}$. El artículo reconoce que si $A$ es demasiado disperso, es probable que el límite $q^{-2}$ sea inalcanzable. Investigaciones previas en esta área, como el trabajo de Matomäki sobre denominadores restringidos a los primos, han dependido fuertemente de la teoría analítica de números. Este artículo busca abordar el problema a través de una lente combinatoria mediante la introducción de una noción específica de densidad.

Metodología
El autor introduce una definición combinatoria de "densidad diofántica" para subconjuntos de $\mathbb{N}$ y utiliza la teoría elemental de números y las propiedades de las fracciones continuas para establecer resultados.

1. Definición de Densidad Diofántica: Se define que un conjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ tiene una densidad diofántica $\delta \in [0, 1]$ si existe una constante $C > 0$ tal que para cada par coprimo $(p, q)$ suficientemente grande, la distancia mínima desde $vp/q$ al entero más cercano, minimizada sobre $v \in A$ con $v \le q$, está acotada por $C/q^\delta$.

   • Observación: El autor demuestra que cualquier conjunto con densidad diofántica positiva debe ser infinito.

2. Construcción Combinatoria (Teorema 4): El artículo establece un método para construir conjuntos con densidades diofánticas específicas analizando el complemento de conjuntos con crecimiento controlado. Específicamente, si un conjunto $A$ tiene una función de conteo $A(n) \ll n^\delta$, entonces su complemento $\mathbb{N} \setminus A$ posee una densidad diofántica de $1 - \delta$. Esto se demuestra analizando la distribución del multiconjunto $\{ \|kp/q\| : 1 \le k \le q \}$ y mostrando que eliminar los elementos correspondientes a $A$ deja un elemento mínimo acotado por la densidad del conjunto eliminado.

3. Aplicación a la Aproximación (Teorema 3): Utilizando la definición de densidad, el autor deriva un análogo restringido del teorema de Dirichlet. Si $A$ tiene una densidad diofántica $\delta > 0$, entonces para cualquier irracional $\xi$ y $\epsilon > 0$, existen infinitos pares coprimos $(u, v) \in \mathbb{Z} \times A$ tales que $|\xi - u/v| < 1/v^{1+\delta-\epsilon}$. La prueba se basa en los convergentes de $\xi$ y la desigualdad triangular, demostrando que la condición de densidad asegura la existencia de infinitos pares coprimos distintos.

Resultos Clave

• Teorema 3 (Dirichlet Restringido): Si un subconjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ tiene una densidad diofántica $\delta > 0$, entonces para cualquier irracional $\xi$, hay infinitas aproximaciones con denominadores en $A$ que satisfacen $|\xi - u/v| < v^{-(1+\delta-\epsilon)}$.
• Teorema 4 (Densidad de Complementos): Si un conjunto $A$ satisface $A(n) \ll n^\delta$, entonces el complemento $\mathbb{N} \setminus A$ tiene una densidad diofántica de $1 - \delta$.
• Teorema 5 (Secuencias de Piatetski-Shapiro): Aplicando los teoremas anteriores a las secuencias de Piatetski-Shapiro $PSc = \{\lfloor n^c \rfloor\}_{n \ge 1}$ (donde $c > 1$), el autor muestra que el conjunto de enteros que evitan estas secuencias permite aproximaciones con un límite de error de $|\xi - p/q| < q^{-(2 - 1/c - \epsilon)}$.
  • Ejemplo: Para $c=2$ (evitando cuadrados perfectos), el límite es $q^{-(3/2 - \epsilon)}$.

Significancia y Limitaciones
El artículo afirma su significancia al proporcionar un "enfoque combinatorio" para la aproximación diofántica restringida, contrastando con los métodos de la "teoría analítica de números" utilizados en trabajos previos (por ejemplo, Vinogradov, Matomäki). Establece un vínculo directo entre la tasa de crecimiento de la función de conteo de un conjunto y la calidad de las aproximaciones diofánticas posibles utilizando su complemento.

Sin embargo, el autor es modesto respecto al alcance de estos resultados. El artículo establece explícitamente que los métodos son "demasiado toscos" para recuperar resultados más fuertes conocidos para conjuntos específicos dispersos, como el conjunto de los números primos. Al aplicar el Teorema 4, el autor señala que el conjunto de los primos tiene una densidad diofántica de 0 (ya que el conjunto de los compuestos tiene densidad 1), lo que hace que el Teorema 3 sea inaplicable a los primos. Por lo tanto, el trabajo se presenta como un marco general para subconjuntos "suficientemente densos" en lugar de una solución para los casos más difíciles de conjuntos muy dispersos.