A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators

Probleemstelling
Deze nota behandelt het probleem van Diophantische benadering wanneer de noemers van de benaderende rationale getallen beperkt zijn tot een specifieke deelverzameling $A$ van de natuurlijke getallen $\mathbb{N}$. Terwijl de stelling van Dirichlet garandeert dat voor elk irrationaal getal $\xi$ er oneindig veel coprime paren $(p, q)$ bestaan die voldoen aan $|\xi - p/q| < 1/q^2$, onderzoekt de auteur of een vergelijkbare bovengrens bereikt kan worden wanneer $q$ beperkt is tot een deelverzameling $A \subseteq \mathbb{N}$. Voorgaand onderzoek op dit gebied, zoals het werk van Matomäki over noemers beperkt tot priemgetallen, heeft zwaar geleund op de analytische getaltheorie. Dit artikel tracht het probleem vanuit een combinatorisch perspectief te benaderen door een specifieke definitie van dichtheid te introduceren.

Methodologie
De auteur introduceert een combinatorische definitie van "Diophantische dichtheid" voor deelverzamelingen van $\mathbb{N}$ en maakt gebruik van elementaire getaltheorie en eigenschappen van continuümbreuken om resultaten vast te stellen.

1. Definitie van Diophantische dichtheid: Een verzameling $A \subseteq \mathbb{N}$ wordt gedefinieerd als het hebben van een Diophantische dichtheid $\delta \in [0, 1]$ indien er een constante $C > 0$ bestaat zodan dat voor elk voldoende groot copreen paar $(p, q)$, de minimale afstand van $vp/q$ tot het dichtstbijzijnde geheel, geminimaliseerd over $v \in A$ met $v \le q$, begrensd wordt door $C/q^\delta$.

   • Opmerking: De auteur bewijst dat elke verzameling met een positieve Diophantische dichtheid oneindig moet zijn.

2. Combinatorische Constructie (Stelling 4): Het artikel stelt een methode vast om verzamelingen met specifieke Diophantische dichtheden te construeren door de complementariteit van verzamelingen met gecontroleerde groei te analyseren. Specifiek, als een verzameling $A$ een telfunctie $A(n) \ll n^\delta$ heeft, dan bezit het complement $\mathbb{N} \setminus A$ een Diophantische dichtheid van $1 - \delta$. Dit wordt bewezen door de distributie van de multiset $\{ \|kp/q\| : 1 \le k \le q \}$ te analyseren en aan te tonen dat het verwijderen van elementen die overeenkomen met $A$ een minimumelement achterlaat dat begrensd wordt door de dichtheid van de verwijderde verzameling.

3. Toepassing op Benadering (Stelling 3): Gebruikmakend van de definitie van dichtheid, leidt de auteur een beperkte analogon van de stelling van Dirichlet af. Als $A$ een Diophantische dichtheid $\delta > 0$ heeft, dan zijn er voor elk irrationaal $\xi$ en $\epsilon > 0$ oneindig veel copreen paren $(u, v) \in \mathbb{Z} \times A$ zodanig dat $|\xi - u/v| < 1/v^{1+\delta-\epsilon}$. Het bewijs steunt op de convergenten van $\xi$ en de driehoeksongelijkheid, waarbij wordt aangetoond dat de dichtheidsvoorwaarde de existentie van oneindig veel verschillende copreen paren waarborgt.

Belangrijkste Resultaten

• Stelling 3 (Beperkte Dirichlet): Als een deelverzameling $A \subseteq \mathbb{N}$ een Diophantische dichtheid $\delta > 0$ heeft, dan zijn er voor elk irrationaal $\xi$ oneindig veel benaderingen met noemers in $A$ die voldoen aan $|\xi - u/v| < v^{-(1+\delta-\epsilon)}$.
• Stelling 4 (Dichtheid van Complementen): Als een verzameling $A$ voldoet aan $A(n) \ll n^\delta$, dan heeft het complement $\mathbb{N} \setminus A$ een Diophantische dichtheid van $1 - \delta$.
• Stelling 5 (Piatetski-Shapiro Sequenties): Door de voorgaande stellingen toe te passen op Piatetski-Shapiro sequenties $PSc = \{\lfloor n^c \rfloor\}_{n \ge 1}$ (waarbij $c > 1$), toont de auteur aan dat de verzameling gehelen die deze sequenties vermijden benaderingen toelaat met een foutenmarge van $|\xi - p/q| < q^{-(2 - 1/c - \epsilon)}$.
  • Voorbeeld: Voor $c=2$ (het vermijden van kwadraten) is de bovengrens $q^{-(3/2 - \epsilon)}$.

Betekenis en Beperkingen
Het artikel claimt betekenis door een "combinatorische benadering" te bieden voor beperkte Diophantische benadering, in contrast met de "analytische getaltheoretische" methoden die in eerder werk (bijv. Vinogradov, Matomäki) werden gebruikt. Het legt een direct verband tussen de groeisnelheid van de telfunctie van een verzameling en de kwaliteit van de Diophantische benaderingen die mogelijk zijn met haar complement.

De auteur is echter bescheiden over de reikwijdte van deze resultaten. Het artikel stelt expliciet dat de methoden "te grof" zijn om sterkere resultaten te herleiden die bekend zijn voor specifieke ijle verzamelingen, zoals de verzameling van priemgetallen. Door Stelling 4 toe te passen, merkt de auteur op dat de verzameling priemgetallen een Diophantische dichtheid van 0 heeft (aangezien de verzameling samengestelde getallen dichtheid 1 heeft), waardoor Stelling 3 niet toepasbaar is op priemgetallen. Aldus wordt het werk gepresenteerd als een algemeen kader voor "voldoende dichte" deelverzamelingen in plaats van een oplossing voor de meest moeilijke gevallen van ijle verzamelingen.