Steady compressible Navier-Stokes-Fourier system with general temperature dependent viscosities and hard sphere pressure law

Sintesi Tecnica: Sistema di Navier–Stokes–Fourier stazionario comprimibile con viscosità dipendenti dalla temperatura e legge di pressione a sfere rigide

Formulazione del Problema
Questo articolo investiga la teoria dell'esistenza per il sistema di Navier–Stokes–Fourier stazionario comprimibile in un dominio limitato tridimensionale $\Omega \subset \mathbb{R}^3$. Il sistema modella il flusso stazionario di un fluido comprimibile conduttore di calore ed è governato dalla conservazione della massa, del momento e dell'energia totale. Lo studio si concentra su una specifica equazione di stato nota come "legge di pressione delle sfere rigide" (hard sphere pressure law), definita come $p(\varrho, \vartheta) = \vartheta \varrho h(\varrho)$, dove $h(\varrho)$ è una funzione non decrescente che diventa singolare a una densità critica $\varrho = a > 0$. Questa legge di pressione corrisponde formalmente a un esponente adiabatico $\gamma = \infty$ e svanisce quando $\vartheta \to 0$.

I coefficienti di viscosità sono assunti dipendenti dalla temperatura $\vartheta$ nella forma $\mu(\vartheta), \xi(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^\alpha$ con $0 \le \alpha \le 1$. La conducibilità termica segue $\kappa(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^m$ per $m > 0$. L'articolo considera quattro distinti problemi di valore al contorno che coinvolgono combinazioni di:

1. Velocità: Dirichlet omogeneo ($u=0$) o Dirichlet non omogeneo ($u=u_0$ con $u_0 \cdot n = 0$).
2. Temperatura: Flusso di calore ($q \cdot n = L(\vartheta - \vartheta_0)$) o Dirichlet ($\vartheta = \vartheta_D$).

Inoltre, viene prescritta la massa totale del fluido, e il dominio deve soddisfare un vincolo geometrico che assicuri che la densità rimanga al di sotto della singolarità $a$.

Metodologia
Gli autori utilizzano un approccio variazionale per stabilire l'esistenza di soluzioni deboli e di entropia variazionale. La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi:

1. Schema di Approssimazione: Viene costruito un sistema approssimato utilizzando parametri di regolarizzazione ($\varepsilon, \delta, \eta, R$). La densità è troncata e regolarizzata, e la pressione è modificata per evitare la singolarità a $\varrho = a$ durante la fase di approssimazione. La velocità è approssimata mediante un metodo di Galerkin in un sottospazio a dimensione finita.
2. Stime A Priori: Il nucleo dell'analisi consiste nel derivare stime uniformi indipendenti dai parametri di regolarizzazione.
   • Energia ed Entropia: Gli autori utilizzano il bilancio dell'energia totale e la disuguaglianza dell'entropia (o la disuguaglianza dell'energia balistica per le condizioni di temperatura di Dirichlet) per controllare i campi di temperatura e velocità. Particolare attenzione è rivolta al comportamento dell'entropia specifica vicino allo zero assoluto, richiedendo una funzione di energia interna modificata $g(\vartheta)$ per le condizioni al contorno di Dirichlet.
   • Controllo della Pressione: Una sfida critica è il controllo della pressione in uno spazio migliore di $L^1$. Gli autori utilizzano l'operatore di Bogovskii per testare l'equazione del momento. Testando con $\Phi = B(p^\beta)$, derivano stime per la pressione in $L^{1+\beta}$. Ciò richiede un attento bilanciamento degli esponenti $\alpha$ e $m$ per garantire l'integrabilità dei termini non lineari che coinvolgono la viscosità e la temperatura.
   • Stime dell'Operatore di Bogovskii: Il controllo della pressione dipende fortemente dalle stime che coinvolgono l'operatore di Bogovskii applicato ai termini di densità e pressione, sfruttando la limitatezza della densità ($\varrho < a$) e la specifica struttura della pressione a sfere rigide.
3. Passaggio al Limite: Gli autori passano al limite quando i parametri di regolarizzazione tendono a zero. Ciò comporta:
   • Stabilire la convergenza forte della sequenza di densità, che è ottenuta dimostrando l'identità del flusso viscoso efficace e utilizzando l'equazione di continuità rinormalizzata.
   • Gestire il limite nel bilancio dell'energia totale, il che impone condizioni più stringenti sui parametri $m$ e $\alpha$ rispetto all'equazione del momento.

Contributi Principali e Risultati
L'articolo stabilisce l'esistenza di soluzioni per i quattro problemi di valore al contorno descritti sotto specifici vincoli per i parametri $\alpha$ e $m$. I risultati principali sono riassunti come segue:

• Teorema 1 (Problema 1: $u=0$, Flusso di Calore): Esiste una soluzione di entropia variazionale se $\alpha \in [0, 1]$ e $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$. Se $m > 1$, la soluzione è una soluzione debole.
• Teorema 2 (Problema 2: $u=0$, Temperatura di Dirichlet): Esiste una soluzione di entropia variazionale se $\alpha \in [0, 1]$ e $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, 1-\alpha\}$. Se $m > 1$, la soluzione è debole.
• Teorema 3 (Problema 3: $u=u_0 \neq 0$, Flusso di Calore):
  • Per $0 < \alpha < 1$, l'esistenza è garantita se $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$.
  • Per $\alpha = 0$, l'esistenza di una soluzione debole richiede $m > 1$.
  • Per $\alpha = 1$, l'esistenza richiede che $\|\nabla u_0\|_\infty$ sia sufficientemente piccolo e $m \ge \frac{2}{3}$. Se $m > 1$, la soluzione è debole.
• Teorema 4 (Problema 4: $u=u_0 \neq 0$, Temperatura di Dirichlet): Una soluzione debole di entropia esiste se $\alpha = 1$, $m \ge 2$, e $\|\nabla u_0\|_\infty$ è sufficientemente piccolo.

L'articolo distingue tra "soluzioni di entropia variazionale" (che soddisfano la disuguaglianza dell'entropia e il bilancio dell'energia in una specifica forma debole) e "soluzioni deboli" (che soddisfano il bilancio dell'energia nella forma debole standard). La transizione da soluzioni variazionali a soluzioni deboli richiede generalmente $m > 1$ per garantire un'integrabilità sufficiente per il passaggio al limite nell'equazione dell'energia.

Significatività
L'articolo estende la teoria esistente dei sistemi di Navier–Stokes–Fourier stazionari comprimibili in tre dimensioni. Mentre i lavori precedenti hanno affrontato viscosità costanti o specifiche leggi di pressione di potenza (ad esempio, $p \sim \varrho^\gamma + \vartheta \varrho$), questo studio affronta la legge di pressione delle sfere rigide, che è fisicamente rilevante per i gas ad alte densità e formalmente corrisponde a $\gamma = \infty$.

Gli autori affermano che i loro risultati rappresentano un'estensione alla situazione tridimensionale per questa specifica legge di pressione, che era stata precedentemente analizzata solo in due dimensioni (dove le disuguaglianze di Trudinger-Moser hanno giocato un ruolo chiave). Inoltre, l'articolo generalizza il trattamento delle viscosità e della conducibilità termica dipendenti dalla temperatura, fornendo risultati di esistenza per un ampio intervallo di esponenti $\alpha$ e $m$ sotto varie condizioni al contorno, incluse i casi più impegnativi di velocità non omogenea e temperatura di Dirichlet. Il lavoro si basa su e perfeziona le tecniche riguardanti l'operatore di Bogovskii e le soluzioni rinormalizzate per gestire la natura singolare della pressione e la non linearità dei coefficienti di trasporto.