Steady compressible Navier-Stokes-Fourier system with general temperature dependent viscosities and hard sphere pressure law

技术摘要：具有一般温度相关粘度和硬球压力律的稳态可压缩 Navier–Stokes–Fourier 系统

问题描述
本文研究了在三维有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 中，具有稳态可压缩 Navier–Stokes–Fourier 系统的存在性理论。该系统模拟了导热可压缩流体的稳态流动，由质量守恒、动量守恒和总能量守恒方程组控制。本研究关注一种被称为“硬球压力律”的特定状态方程，其定义为 $p(\varrho, \vartheta) = \vartheta \varrho h(\varrho)$，其中 $h(\varrho)$ 是一个非减函数，并在临界密度 $\varrho = a > 0$ 处趋于奇异。该压力律在形式上对应于绝热指数 $\gamma = \infty$，且当温度 $\vartheta \to 0$ 时趋于零。

假设粘度系数以 $\mu(\vartheta), \xi(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^\alpha$ 的形式依赖于温度 $\vartheta$，其中 $0 \le \alpha \le 1$。热导率遵循 $\kappa(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^m$，其中 $m > 0$。本文考虑了四种不同的边界值问题，涉及以下组合：

1. 速度： 齐次 Dirichlet 条件（$u=0$）或非齐次 Dirichlet 条件（$u=u_0$ 且 $u_0 \cdot n = 0$）。
2. 温度： 热通量条件（$q \cdot n = L(\vartheta - \vartheta_0)$）或 Dirichlet 条件（$\vartheta = \vartheta_D$）。

此外，还规定了流体的总质量，并且定义域必须满足几何约束，以确保密度保持在低于奇异值 $a$ 的范围内。

方法论
作者采用变分方法来建立弱解和变分熵解的存在性。其方法论通过以下步骤进行：

1. 近似方案： 利用正则化参数（$\varepsilon, \delta, \eta, R$）构建近似系统。对密度进行截断和正则化处理，并对压力进行修改，以在近似阶段避免 $\varrho = a$ 处的奇异性。使用 Galerkin 方法在有限维子空间中对速度进行近似。
2. 先验估计： 分析的核心在于推导独立于正则化参数的一致估计。
   • 能量与熵： 作者利用总能量平衡和熵不等式（或针对 Dirichlet 温度条件的弹道能量不等式）来控制温度场和速度场。针对绝对零度附近的特定熵行为，对于 Dirichlet 边界条件，需要使用修正后的内能函数 $g(\vartheta)$。
   • 压力控制： 一个关键挑战是如何在优于 $L^1$ 的空间中控制压力。作者利用 Bogovskii 算子 对动量方程进行测试。通过使用 $\Phi = B(p^\beta)$ 进行测试，推导出压力在 $L^{1+\beta}$ 中的估计。这需要仔细平衡指数 $\alpha$ 和 $m$，以确保涉及粘性和温度的非线性项的可积性。
   • Bogovskii 算子估计： 对压力的控制高度依赖于将 Bogovskii 算子应用于密度和压力项的估计，并利用密度的有界性（$\varrho < a$）以及硬球压力的特定结构。
3. 极限传递： 当正则化参数趋于零时，作者进行极限传递。这包括：
   • 建立密度的强收敛性，这是通过证明 有效粘性通量恒等式 并利用重整化连续方程来实现的。
   • 处理总能量平衡中的极限过程，这对于参数 $m$ 和 $\alpha$ 提出了比动量方程更严格的条件。

主要贡献与结果
本文在 $\alpha$ 和 $m$ 的特定约束下，为上述四种边界值问题建立了解的存在性。主要结果总结如下：

• 定理 1（问题 1：$u=0$，热通量）： 若 $\alpha \in [0, 1]$ 且 $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$，则存在变分熵解。
• 定理 2（问题 2：$u=0$，Dirichlet 温度）： 若 $\alpha \in [0, 1]$ 且 $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, 1-\alpha\}$，则存在变分熵解。若 $m > 1$，则解为弱解。
• 定理 3（问题 3：$u=u_0 \neq 0$，热通量）：
  • 对于 $0 < \alpha < 1$，若 $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$，则存在解。
  • 对于 $\alpha = 0$，弱解的存在性要求 $m > 1$。
  • 对于 $\alpha = 1$，存在性要求 $\|\nabla u_0\|_\infty$ 足够小且 $m \ge \frac{2}{3}$。若 $m > 1$，则解为弱解。
• 定理 4（问题 4：$u=u_0 \neq 0$，Dirichlet 温度）： 若 $\alpha = 1, m \ge 2$ 且 $\|\nabla u_0\|_\infty$ 足够小，则存在弱熵解。

文中区分了“变分熵解”（满足特定弱形式下的熵不等式和能量平衡）与“弱解”（满足标准弱形式下的能量平衡）。从变分解到弱解的过渡通常需要 $m > 1$，以确保能量方程中极限传递过程中的充分可积性。

意义
本文扩展了三维稳态可压缩 Navier–Stokes–Fourier 系统的现有理论。虽然之前的研究已经解决了恒定粘度或特定幂律压力（例如 $p \sim \varrho^\gamma + \vartheta \varrho$）的情况，但本研究处理的是具有物理相关性的硬球压力律，该压力律在形式上对应于 $\gamma = \infty$。

作者声称，其结果代表了针对这种特定压力律在三维情况下的理论扩展，此前该压力律仅在二维情况下被分析过（其中 Trudinger-Moser 不等式起到了关键作用）。此外，本文通过为广泛的指数 $\alpha$ 和 $m$ 提供结果，推广了对温度相关粘度和热导率的处理，涵盖了包括更具挑战性的非齐次速度和 Dirichlet 温度在内的各种边界条件。该工作依赖并改进了涉及 Bogovskii 算子和重整化解的技术，以处理压力具有奇异性以及输运系数具有非线性的问题。