Steady compressible Navier-Stokes-Fourier system with general temperature dependent viscosities and hard sphere pressure law

技術要約：一般的な温度依存性粘性と硬球圧力則を用いた定常圧縮性ナビエ・ストークス・フルリエ系

問題設定
本論文は、3次元有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ における定常圧縮性ナビエ・ストークス・フルリエ系の存在理論を調査するものである。この系は、熱伝導性圧縮性流体の定常流をモデル化しており、質量、運動量、および全エネルギーの保存則によって支配される。本研究は、「硬球圧力則（hard sphere pressure law）」として知られる特定の状態方程式に焦点を当てている。これは $p(\varrho, \vartheta) = \vartheta \varrho h(\varrho)$ と定義され、$h(\varrho)$ は臨界密度 $\varrho = a > 0$ で特異性を有する非減少関数である。この圧力則は、形式的に断熱指数 $\gamma = \infty$ に対応し、温度 $\vartheta \to 0$ のとき消失する。

粘性係数は、温度 $\vartheta$ に対して $\mu(\vartheta), \xi(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^\alpha$ （ただし $0 \le \alpha \le 1$）の形で依存すると仮定されている。熱伝導率は $\kappa(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^m$ （ただし $m > 0$）に従う。本論文では、以下の組み合わせによる4つの異なる境界値問題を検討している：

1. 速度： 斉次ディリクレ条件 ($u=0$) または非斉次ディリクレ条件 ($u=u_0$ かつ $u_0 \cdot n = 0$)。
2. 温度： 熱流束条件 ($q \cdot n = L(\vartheta - \vartheta_0)$) またはディリクレ条件 ($\vartheta = \vartheta_D$)。

さらに、流体の全質量が規定されており、領域は密度が特異点 $a$ を下回ることを保証する幾何学的制約を満たさなければならない。

手法
著者らは、変分アプローチを用いて、弱解および変分エントロピー解の存在を確立する。その手法は以下のステップで進行する：

1. 近似スキーム： 正則化パラメータ ($\varepsilon, \delta, \eta, R$) を用いて近似系を構築する。密度は切断および正則化され、圧力は近似フェーズ中に $\varrho = a$ での特異性を回避するように修正される。速度は、有限次元部分空間におけるガラーキン法を用いて近似される。
2. 先験的評価： 解析の核心は、正則化パラメータに依存しない一様評価を導出することである。
   • エネルギーとエントロピー： 著者らは、温度場と速度場を制御するために、全エネルギーバランスとエントロピー不等式（またはディリクレ温度条件における弾道エネルギー不等式）を利用する。絶対零度付近での比エントロピーの挙動については、ディリクレ境界条件のために修正された内部エネルギー関数 $g(\vartheta)$ が必要となる。
   • 圧力の制御： 圧力を $L^1$ よりも優れた空間で制御することが重要な課題である。著者らは、運動量方程式をテストするために ボゴフスキー作用素（Bogovskii operator） を用いる。$\Phi = B(p^\beta)$ でテストすることにより、圧力の $L^{1+\beta}$ における評価を導出する。これには、粘性と温度を含む非線形項の可積分性を確保するために、指数 $\alpha$ と $m$ のバランスを慎重に取る必要がある。
   • ボゴフスキー作用素の評価： 圧力の制御は、密度と圧力の項に適用されたボゴフスキー作用素の評価に大きく依存しており、密度の有界性 ($\varrho < a$) と硬球圧力の特定の構造を活用している。
3. 極限操作： 正則化パラメータがゼロに近づく際の極限操作を行う。これには以下が含まれる：
   • 密度の強収束の確立。これは、有効粘性フラックス恒等式（effective viscous flux identity） を証明し、正則化された連続方程式を利用することによって達成される。
   • 全エネルギーバランスにおける極限操作。これは、運動量方程式と比較して、パラメータ $m$ と $\alpha$ に対してより厳格な条件を課す。

主要な貢献と結果
本論文は、パラメータ $\alpha$ と $m$ の特定の制約の下で、上述の4つの境界値問題に対する解の存在を確立している。主な結果は以下にまとめられる：

• 定理1 (問題1: $u=0$, 熱流束)： $\alpha \in [0, 1]$ かつ $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$ であるとき、変分エントロピー解が存在する。$m > 1$ であれば、その解は弱解である。
• 定理2 (問題2: $u=0$, ディリクレ温度)： $\alpha \in [0, 1]$ かつ $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, 1-\alpha\}$ であるとき、変分エントロピー解が存在する。$m > 1$ であれば、その解は弱解である。
• 定理3 (問題3: $u=u_0 \neq 0$, 熱流束)：
  • $0 < \alpha < 1$ の場合、 $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$ であれば存在が成立する。
  • $\alpha = 0$ の場合、弱解の存在には $m > 1$ が必要である。
  • $\alpha = 1$ の場合、$\|\nabla u_0\|_\infty$ が十分に小さく、かつ $m \ge \frac{2}{3}$ であることが必要である。$m > 1$ であれば、その解は弱解である。
• 定理4 (問題4: $u=u_0 \neq 0$, ディリクレ温度)： $\alpha = 1, m \ge 2$ かつ $\|\nabla u_0\|_\infty$ が十分に小さいとき、弱エントロピー解が存在する。

本論文は、「変分エントロピー解」（特定の弱形式においてエントロピー不等式とエネルギーバランスを満たすもの）と「弱解」（標準的な弱形式においてエネルギーバランスを満たすもの）を区別している。変分解から弱解への移行には、エネルギー方程式における極限操作における十分な可積分性を保証するために、一般に $m > 1$ が必要となる。

意義
本論文は、3次元における定常圧縮性ナビエ・ストークス・フルリエ系の既存の理論を拡張するものである。先行研究では、一定の粘性係数や特定の冪乗則圧力（例：$p \sim \varrho^\gamma + \vartheta \varrho$）を扱ってきたが、本研究は物理的に高密度ガスに関連し、形式的に $\gamma = \infty$ に対応する 硬球圧力則 を扱っている。

著者らは、この特定の圧力則に対して、これまでの研究が2次元（Trudinger-Moser不等式が重要な役割を果たしていた）のみであったのに対し、本研究の結果が3次元への拡張であることを主張している。さらに、温度依存性の粘性と熱伝導率の扱いを一般化し、様々な境界条件（より困難な非斉次速度およびディリクレ温度の場合を含む）の下で、広範な指数 $\alpha$ および $m$ の範囲に対して存在結果を提供している。本研究は、圧力の特異性と輸送係数の非線形性を扱うために、ボゴフスキー作用座と正則化された解（renormalized solutions）の技術を依拠し、洗練させている。