Steady compressible Navier-Stokes-Fourier system with general temperature dependent viscosities and hard sphere pressure law

Resumo Técnico: Sistema de Navier–Stokes–Fourier Compressível Estacionário com Viscosidades Gerais Dependentes da Temperatura e Lei de Pressão de Esferas Rígidas

Formulação do Problema
Este artigo investiga a teoria de existência para o sistema de Navier–Stokes–Fourier compressível estacionário em um domínio limitado tridimensional $\Omega \subset \mathbb{R}^3$. O sistema modela o fluxo estacionário de um fluido compressível condutor de calor e é regido pela conservação da massa, do momento e da energia total. O estudo foca em uma lei de estado específica conhecida como "lei de pressão de esferas rígidas", definida como $p(\varrho, \vartheta) = \vartheta \varrho h(\varrho)$, onde $h(\varrho)$ é uma função não decrescente que se torna singular em uma densidade crítica $\varrho = a > 0$. Esta lei de pressão corresponde formalmente a um expoente adiabático $\gamma = \infty$ e desaparece quando $\vartheta \to 0$.

Os coeficientes de viscosidade são assumidos como dependentes da temperatura $\vartheta$ na forma $\mu(\vartheta), \xi(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^\alpha$ com $0 \le \alpha \le 1$. A condutividade térmica segue $\kappa(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^m$ para $m > 0$. O artigo considera quatro problemas de valor de contorno distintos envolvendo combinações de:

1. Velocidade: Dirichlet homogênea ($u=0$) ou Dirichlet não homogênea ($u=u_0$ com $u_0 \cdot n = 0$).
2. Temperatura: Fluxo de calor ($q \cdot n = L(\vartheta - \vartheta_0)$) ou Dirichlet ($\vartheta = \vartheta_D$).

Adicionalmente, a massa total do fluido é prescrita, e o domínio deve satisfazer uma restrição geométrica que garanta que a densidade permaneça abaixo da singularidade $a$.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem variacional para estabelecer a existência de soluções de entropia fracas e variacionais. A metodologia procede através dos seguintes passos:

1. Esquema de Aproximação: Um sistema aproximado é construído usando parâmetros de regularização ($\varepsilon, \delta, \eta, R$). A densidade é truncada e regularizada, e a pressão é modificada para evitar a singularidade em $\varrho = a$ durante a fase de aproximação. A velocidade é aproximada usando um método de Galerkin em um subespaço de dimensão finita.
2. Estimativas A Priori: O núcleo da análise envolve a derivação de estimativas uniformes independentes dos parâmetros de regularização.
   • Energia e Entropia: Os autores utilizam o balanço de energia total e a desigualdade de entropia (ou desigualdade de energia balística para condições de contorno de temperatura de Dirichlet) para controlar os campos de temperatura e velocidade. Atenção especial é dada ao comportamento da entropia específica próximo ao zero absoluto, exigindo uma função de energia interna $g(\vartheta)$ modificada para condições de contorno de Dirichlet.
   • Controle da Pressão: Um desafio crítico é controlar a pressão em um espaço melhor que $L^1$. Os autores utilizam o operador de Bogovskii para testar a equação do momento. Ao testar com $\Phi = B(p^\beta)$, eles derivam estimativas para a pressão em $L^{1+\beta}$. Isso requer um equilíbrio cuidadoso dos expoentes $\alpha$ e $m$ para garantir a integrabilidade dos termos não lineares envolvendo viscosidade e temperatura.
   • Estimativas do Operador de Bogovskii: O controle da pressão depende fortemente de estimativas envolvendo o operador de Bogovskii aplicado aos termos de densidade e pressão, aproveitando a limitação da densidade ($\varrho < a$) e a estrutura específica da pressão de esferas rígidas.
3. Passagem ao Limite: Os autores passam ao limite conforme os parâmetros de regularização tendem a zero. Isso envolve:
   • Estabelecer a convergência forte da sequência de densidade, o que é alcançado provando a identidade do fluxo viscoso efetivo e utilizando a equação de continuidade renormalizada.
   • Lidar com o limite no balanço de energia total, o que impõe condições mais estritas sobre os parâmetros $m$ e $\alpha$ em comparação com a equação do momento.

Contribuições Principais e Resultados
O artigo estabelece a existência de soluções para os quatro problemas de valor de contorno descritos sob restrições específicas dos parâmetros $\alpha$ e $m$. Os principais resultados são resumidos como:

• Teorema 1 (Problema 1: $u=0$, Fluxo de Calor): Uma solução de entropia variacional existe se $\alpha \in [0, 1]$ e $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$. Se $m > 1$, a solução é uma solução fraca.
• Teorema 2 (Problema 2: $u=0$, Temperatura de Dirichlet): Uma solução de entropia variacional existe se $\alpha \in [0, 1]$ e $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, 1-\alpha\}$. Se $m > 1$, a solução é fraca.
• Teorema 3 (Problema 3: $u=u_0 \neq 0$, Fluxo de Calor):
  • Para $0 < \alpha < 1$, a existência ocorre se $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$.
  • Para $\alpha = 0$, a existência de uma solução fraca requer $m > 1$.
  • Para $\alpha = 1$, a existência requer que $\|\nabla u_0\|_\infty$ seja suficientemente pequeno e $m \ge \frac{2}{3}$. Se $m > 1$, a solução é fraca.
• Teorema 4 (Problema 4: $u=u_0 \neq 0$, Temperatura de Dirichlet): Uma solução de entropia fraca existe se $\alpha = 1$, $m \ge 2$ e $\|\nabla u_0\|_\infty$ é suficientemente pequeno.

O artigo distingue entre "soluções de entropia variacionais" (que satisfazem a desigualdade de entropia e o balanço de energia em uma forma fraca específica) e "soluções fracas" (que satisfazem o balanço de energia na forma fraca padrão). A transição de soluções variacionais para soluções fracas geralmente requer $m > 1$ para garantir a integrabilidade suficiente para a passagem ao limite na equação de energia.

Significância
O artigo estende a teoria existente para sistemas de Navier–Stokes–Fourier compressíveis estacionários em três dimensões. Enquanto trabalhos anteriores abordaram viscosidades constantes ou leis de pressão de potência específicas (ex: $p \sim \varrho^\gamma + \vartheta \varrho$), este estudo aborda a lei de pressão de esferas rígidas, que é fisicamente relevante para gases em altas densidades e formalmente corresponde a $\gamma = \infty$.

Os autores afirmam que seus resultados representam uma extensão para a situação tridimensional para esta lei de pressão específica, que anteriormente só havia sido analisada em duas dimensões (onde as desigualdades de Trudinger-Moser desempenharam um papel fundamental). Além disso, o artigo generaliza o tratamento de viscosidades e condutividade térmica dependentes da temperatura, fornecendo resultados de existência para uma ampla gama de expoentes $\alpha$ e $m$ sob várias condições de contorno, incluindo os casos mais desafiadores de velocidade não homogênea e temperatura de Dirichlet. O trabalho baseia-se em e refina técnicas envolvendo o operador de Bogovskii e soluções renormalizadas para lidar com a natureza singular da pressão e a não linearidade dos coeficientes de transporte.