Steady compressible Navier-Stokes-Fourier system with general temperature dependent viscosities and hard sphere pressure law

Resumen Técnico: Sistema de Navier–Stokes–Fourier Compresible Estacionario con Viscosidades Dependientes de la Temperatura Generales y Ley de Presión de Esferas Duras

Formulación del Problema
Este artículo investiga la teoría de existencia para el sistema de Navier–Stokes–Fourier compresible estacionario en un dominio acotado tridimensional $\Omega \subset \mathbb{R}^3$. El sistema modela el flujo estacionario de un fluido compresible conductor de calor y está gobernado por la conservación de la masa, el momento y la energía total. El estudio se centra en una ecuación de estado específica conocida como la "ley de presión de esferas duras", definida como $p(\varrho, \vartheta) = \vartheta \varrho h(\varrho)$, donde $h(\varrho)$ es una función no decreciente que se vuelve singular en una densidad crítica $\varrho = a > 0$. Esta ley de presión corresponde formalmente a un exponente adiabático $\gamma = \infty$ y se anula cuando $\vartheta \to 0$.

Se asume que los coeficientes de viscosidad dependen de la temperatura $\vartheta$ en la forma $\mu(\vartheta), \xi(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^\alpha$ con $0 \le \alpha \le 1$. La conductividad térmica sigue $\kappa(\vartheta) \sim (1+\vartheta)^m$ para $m > 0$. El artículo considera cuatro problemas de valores en la frontera distintos que involucran combinaciones de:

1. Velocidad: Dirichlet homogénea ($u=0$) o Dirichlet no homogénea ($u=u_0$ con $u_0 \cdot n = 0$).
2. Temperatura: Flujo de calor ($q \cdot n = L(\vartheta - \vartheta_0)$) o Dirichlet ($\vartheta = \vartheta_D$).

Adicionalmente, se prescribe la masa total del fluido, y el dominio debe satisfacer una restricción geométrica que garantice que la densidad permanezca por debajo de la singularidad $a$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque variacional para establecer la existencia de soluciones de entropía débiles y variacionales. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Esquema de Aproximación: Se construye un sistema aproximado utilizando parámetros de regularización ($\varepsilon, \delta, \eta, R$). La densidad es truncada y regularizada, y la presión es modificada para evitar la singularidad en $\varrho = a$ durante la fase de aproximación. La velocidad es aproximada mediante un método de Galerkin en un subespacio de dimensión finita.
2. Estimaciones A Priori: El núcleo del análisis consiste en derivar estimaciones uniformes independientes de los parámetros de regularización.
   • Energía y Entropía: Los autores utilizan el balance de energía total y la desigualdad de entropía (o la desigualdad de energía balística para condiciones de temperatura de Dirichlet) para controlar los campos de temperatura y velocidad. Se presta especial atención al comportamiento de la entropía específica cerca del cero absoluto, lo que requiere una función de energía interna $g(\vartheta)$ modificada para las condiciones de contorno de Dirichlet.
   • Control de la Presión: Un desafío crítico es controlar la presión en un espacio mejor que $L^1$. Los autores utilizan el operador de Bogovskii para probar la ecuación de momento. Al probar con $\Phi = B(p^\beta)$, derivan estimaciones para la presión en $L^{1+\beta}$. Esto requiere un equilibrio cuidadoso de los exponentes $\alpha$ y $m$ para asegurar la integrabilidad de los términos no lineales que involucran la viscosidad y la temperatura.
   • Estimaciones del Operador de Bogovskii: El control de la presión depende fuertemente de las estimaciones que involucran al operador de Bogovskii aplicado a los términos de densidad y presión, aprovechando la acotación de la densidad ($\varrho < a$) y la estructura específica de la presión de esferas duras.
3. Paso al Límite: Los autores pasan al límite cuando los parámetros de regularización tienden a cero. Esto implica:
   • Establecer la convergencia fuerte de la secuencia de densidad, lo cual se logra probando la identidad del flujo viscoso efectivo y utilizando la ecuación de continuidad renormalizada.
   • Manejar el límite en el balance de energía total, lo que impone condiciones más estrictas sobre los parámetros $m$ y $\alpha$ en comparación con la ecuación de momento.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece la existencia de soluciones para los cuatro problemas de valores en la frontera descritos bajo restricciones específicas de los parámetros $\alpha$ y $m$. Los resultados principales se resumen en los siguientes puntos:

• Teorema 1 (Problema 1: $u=0$, Flujo de Calor): Existe una solución de entropía variacional si $\alpha \in [0, 1]$ y $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$. Si $m > 1$, la solución es una solución débil.
• Teorema 2 (Problema 2: $u=0$, Temperatura de Dirichlet): Existe una solución de entropía variacional si $\alpha \in [0, 1]$ y $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, 1-\alpha\}$. Si $m > 1$, la solución es débil.
• Teorema 3 (Problema 3: $u=u_0 \neq 0$, Flujo de Calor):
  • Para $0 < \alpha < 1$, la existencia se mantiene si $m > \max\{\frac{1+\alpha}{3}, \frac{1-\alpha}{2}\}$.
  • Para $\alpha = 0$, la existencia de una solución débil requiere $m > 1$.
  • Para $\alpha = 1$, la existencia requiere que $\|\nabla u_0\|_\infty$ sea suficientemente pequeño y $m \ge \frac{2}{3}$. Si $m > 1$, la solución es débil.
• Teorema 4 (Problema 4: $u=u_0 \neq 0$, Temperatura de Dirichlet): Una solución de entropía débil existe si $\alpha = 1$, $m \ge 2$, y $\|\nabla u_0\|_\infty$ es suficientemente pequeño.

El artículo distingue entre "soluciones de entropía variacionales" (que satisfacen la desigualdad de entropía y el balance de energía en una forma débil específica) y "soluciones débiles" (que satisfacen el balance de energía en la forma débil estándar). La transición de soluciones variacionales a débiles generalmente requiere $m > 1$ para asegurar la integrabilidad suficiente para el paso al límite en la ecuación de energía.

Significancia
El artículo extiende la teoría existente de los sistemas de Navier–Stokes–Fourier compresibles estacionarios en tres dimensiones. Mientras que trabajos previos han abordado viscosidades constantes o leyes de presión de potencia específicas (por ejemplo, $p \sim \varrho^\gamma + \vartheta \varrho$), este estudio aborda la ley de presión de esferas duras, la cual es físicamente relevante para gases a altas densidades y formalmente corresponde a $\gamma = \infty$.

Los autores afirman que sus resultados representan una extensión a la situación tridimensional para esta ley de presión específica, la cual previamente solo había sido analizada en dos dimensiones (donde las desigualdades de Trudinger-Moser jugaron un papel clave). Además, el artículo generaliza el tratamiento de las viscosidades y la conductividad térmica dependientes de la temperatura, proporcionando resultados de existencia para un amplio rango de exponentes $\alpha$ y $m$ bajo diversas condiciones de contorno, incluyendo los casos más desafiantes de velocidad no homogénea y temperatura de Dirichlet. El trabajo se apoya en y refina las técnicas que involucran al operador de Bogovskii y las soluciones renormalizadas para manejar la naturaleza singular de la presión y la no linealidad de los coeficientes de transporte.