Ulrich wildness of some decomposable threefold scrolls over $\mathbb F_a$

Sintesi Tecnica: Wildness di Ulrich di Alcuni Scrol di Tre Varietà Decomponibili su $\mathbb{F}_a$

Enunciato del Problema
Il saggio investiga l'esistenza e le proprietà strutturali dei fasci di Ulrich su scrol di tre varietà $X$ su superfici di Hirzebruch $\mathbb{F}_a$ ($a \geq 0$). Mentre i fasci di Ulrich sono ben caratterizzati per le curve e certe superfici, la loro esistenza e la classificazione del rango rimangono ampiamente aperte per varietà di dimensione $n \geq 3$. Nello specifico, gli autori affrontano la "wildness di Ulrich" di $X$, una proprietà che indica che la varietà supporta famiglie arbitrariamente grandi di fasci di Ulrich mutuamente non isomorfi e indecomponibili.

Il lavoro precedente [9] ha stabilito che, per $0 \leq a \leq b \leq 1$, gli spazi moduli dei fasci di Ulrich su questi scrol contengono componenti genericamente lisce derivanti da estensioni iterate di specifici fasci lineari. Tuttavia, questo precedente lavoro era limitato da ostacoli modulari nei casi in cui $a$ e $b$ cadono al di fuori di questo intervallo, impedendo in particolare la costruzione di famiglie modulari lisce per fasci di rango superiore. Questo saggio mira a risolvere i casi rimanenti, distinguendo tra scenari in cui i fasci sono "ereditati" dalla superficie di base e quelli in cui gli "ostacoli" impediscono moduli lisce, pur mantenendo comunque la wildness.

Metodologia
Gli autori analizzano lo scrol di tre varietà $X = \mathbb{P}_{\mathbb{F}_a}(E^b_a)$, dove $E^b_a = \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a}(0, -b)$, immerso tramite un divisore molto ampio $h = \mathcal{O}_a(1, 1, c)$ con $c \geq a + b + 1$. La metodologia si basa sulla costruzione di fasci di rango $r$ tramite estensioni ricorsive di specifici fasci lineari e sull'analisi della dimensione degli spazi di estensione risultanti e delle componenti del modulo.

L'approccio è diviso in due regimi primari basati sui parametri $a$ e $b$:

1. Il Caso Ereditato ($b \geq 0 = a$):

   • Gli autori considerano le deformazioni di estensioni iterate della coppia di fasci lineari $(L, L^U)$, che sono pull-back ritraslati dalla base $\mathbb{F}_0$.
   • Costruiscono fasci di rango $r$ $G_r$ tramite sequenze esatte $0 \to G_{r-1} \to G_r \to L_{\epsilon_r} \to 0$, alternando tra $L$ e $L^U$.
   • Per garantire stabilità e semplicità per $r \geq 3$, gli autori sostituiscono i termini medi strettamente semistabili della costruzione ricorsiva con fasci slope-stabili $U_{r-1}$ provenienti dalla componente modulare precedentemente costruita.
   • Calcolano le classi di Chern ricorsivamente e determinano la dimensione dello spazio modulo utilizzando la caratteristica di Euler del fascio di endomorfismi.
   • La unirazionalità delle componenti del modulo è stabilita collegando i fasci su $X$ ai fasci di Ulrich sulla base $\mathbb{F}_0$ tramite un morfismo dal modulo dei fasci su $\mathbb{F}_0$, che è noto per essere unirazionale.

2. Il Caso Ostacolato ($b \geq a \geq 0$, escludendo casi specifici piccoli):

   • Questo regime coinvolge la coppia $(N, N^U)$, dove gli ostacoli cohomologici (specificamente gruppi $H^2$ non nulli) impediscono l'esistenza di componenti modulari genericamente lisce per le estensioni iterate.
   • Nonostante questi ostacoli, gli autori dimostrano la wildness di Ulrich provando l'esistenza di famiglie di fasci indecomponibili.
   • Utilizzano una strategia di estensione alternata simile al caso ereditato, ma lavorano con fasci che rimangono strettamente semistabili.
   • Elemento chiave della prova è dimostrare che, per classi di estensione generali, il termine medio risultante è indecomponibile. Ciò viene ottenuto analizzando l'azione del gruppo di automorfismi $\text{Aut}(G_{r-1}) \times \text{Aut}(N_{\epsilon_r})$ sullo spazio di estensione $\text{Ext}^1(G_{r-1}, N_{\epsilon_r})$.
   • Attraverso il calcolo induttivo delle dimensioni dei gruppi $\text{Hom}$ e $\text{End}$, dimostrano che la dimensione dello spazio di estensione eccede strettamente la dimensione dell'orbita sotto l'azione del gruppo di automorfismi. Ciò assicura che una general estensione produca un fascio non isomorfo e indecomponibile.

Contributi Principali e Risultati

• Teorema Principale (Parte 1): Per il caso $b \geq 0 = a$ e $c \geq b + 1$, lo spazio modulo dei fasci di Ulrich di rango $r$ su $X$ contiene una componente unirazionale, genericamente liscia, $M(r)$ per ogni $r \geq 2$.

  • La dimensione di $M(r)$ è calcolata esplicitamente: $(r^2 - 1)(2c - b - 1)$ per $r$ dispari, e $r^2(2c - b - 1) + 1$ per $r$ pari.
  • Il punto generale di $M(r)$ corrisponde a un fascio di Ulrich slope-stabile.
  • Di conseguenza, si dimostra che $X$ è geometricamente $h$-Ulrich wild senza lacune nei ranghi dei fasci di Ulrich slope-stabili ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$).

• Teorema Principale (Parte 2): Per i casi in cui $0 \leq a \leq 1, b \geq 2$ o $b \geq a \geq 1$ (escludendo $(1,1)$), $X$ è geometricamente $h$-Ulrich wild.

  • Sebbene le componenti modulari genericamente lisce possano non esistere a causa degli ostacoli cohomologici, il saggio prova l'esistenza di famiglie di fasci di Ulrich indecomponibili di rango arbitrario $r \geq 2$.
  • Ciò stabilisce che non vi sono lacune nei ranghi dei fasci di Ulrich indecomponibili ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$), anche in presenza di ostacoli modulari.

• Formule delle Classi di Chern: Il saggio fornisce formule ricorsive esplicite per le classi di Chern $c_1, c_2, c_3$ dei costruiti fasci di Ulrich di rango $r$, distinguendo tra ranghi dispari e pari.

Significatività
Il saggio estende la comprensione dei fasci di Ulrich a varietà di dimensione superiore dove gli ostacoli modulari tipicamente ostacolano la classificazione. Distinguendo tra i casi "ereditati" e "ostacolati", gli autori dimostrano che la proprietà della wildness di Ulrich è robusta; essa persiste anche quando la strumentazione standard per la costruzione di spazi modulo lisci fallisce. I risultati confermano che gli scrol di tre varietà decomponibili su superfici di Hirzebruch supportano geometrie interne ricche caratterizzate da grandi famiglie di fasci indecomponibili, colmando una lacuna nella classificazione dei fasci di Ulrich per $n \geq 3$. Il lavoro si basa e estende i risultati fondamentali di [9], affrontando specificamente i casi in cui i parametri $a$ e $b$ superano l'intervallo precedentemente studiato di $0 \leq a \leq b \leq 1$.