Ulrich wildness of some decomposable threefold scrolls over $\mathbb F_a$

Résumé technique : Wildness d'Ulrich de certains scrolls de trois dimensions décomposables sur $\mathbb{F}_a$

Énoncé du problème
L'article étudie l'existence et les propriétés structurelles des fibrés d'Ulrich sur les scrolls de dimension 3, $X$, sur des surfaces de Hirzebruch $\mathbb{F}_a$ ($a \geq 0$). Bien que les fibrés d'Ulrich soient bien caractérisés pour les courbes et certaines surfaces, leur existence et la classification de leur rang restent largement ouvertes pour les variétés de dimension $n \geq 3$. Les auteurs traitent ici de la « wildness d'Ulrich » de $X$, une propriété indiquant que la variété supporte des familles arbitrairement grandes de fibrés d'Ulrich non isomorphes et indécomposables deux à deux.

Des travaux antérieurs [9] ont établi que pour $0 \leq a \leq b \leq 1$, les espaces de modules des fibrés d'Ulrich sur ces scrolls contiennent des composantes génériquement lisses issues d'extensions itérées de fibrés en droites spécifiques. Cependant, ce travail antérieur était limité par des obstructions modulaires dans les cas où $a$ et $b$ se situent en dehors de cette plage, empêchant particulièrement la construction de familles modulaires lisses pour des fibrés de rang supérieur. Cet article vise à résoudre les cas restants, en distinguant les scénarios où les fibrés sont « hérités » de la surface de base et ceux où des « obstructions » empêchent la modularité lisse, tout en maintenant la wildness.

Méthodologie
Les auteurs analysent le scroll de dimension 3 $X = \mathbb{P}_{\mathbb{F}_a}(E^b_a)$, où $E^b_a = \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a}(0, -b)$, plongé via un diviseur très ample $h = \mathcal{O}_a(1, 1, c)$ avec $c \geq a + b + 1$. La méthodologie repose sur la construction de fibrés d'Ulrich de rang $r$ via des extensions récursives de fibrés en droites spécifiques et sur l'analyse de la dimension des espaces d'extension résultants et des composantes de modules.

L'approche est divisée en deux régimes principaux basés sur les paramètres $a$ et $b$ :

1. Le cas hérité ($b \geq 0 = a$) :

   • Les auteurs considèrent les déformations d'extensions itérées de la paire de fibrés en droites $(L, L^U)$, qui sont des tirés en arrière (pullbacks) tordus de la base $\mathbb{F}_0$.
   • Ils construisent des fibrés de rang $r$, $G_r$, via des suites exactes $0 \to G_{r-1} \to G_r \to L_{\epsilon_r} \to 0$, alternant entre $L$ et $L^U$.
   • Pour assurer la stabilité et la simplicité pour $r \geq 3$, les auteurs remplacent les termes médians strictement semi-stables de la construction récursive par des fibrés de pente-stables $U_{r-1}$ issus de la composante modulaire précédemment construite.
   • Ils calculent les classes de Chern de manière récursive et déterminent la dimension de l'espace de modules en utilisant la caractéristique d'Euler du fibré d'endomorphisme.
   • L'unirationalité des composantes de modules est établie en reliant les fibrés sur $X$ aux fibrés d'Ulrich sur la base $\mathbb{F}_0$ via un morphisme de l'espace de modules des fibrés sur $\mathbb{F}_0$, lequel est connu pour être unirational.

2. Le cas obstrué ($b \geq a \geq 0$, excluant certains petits cas) :

   • Ce régime implique la paire $(N, N^U)$, où des obstructions cohomologiques (spécifiquement des groupes $H^2$ non nuls) empêchent l'existence de composantes modulaires génériquement lisses pour les extensions itérées.
   • Malgré ces obstructions, les auteurs prouvent la wildness d'Ulrich en démontrant l'existence de familles de fibrés indécomposables.
   • Ils utilisent une stratégie d'extension alternée similaire au cas hérité, mais travaillent avec des fibrés qui restent strictement semi-stables.
   • La clé de la preuve consiste à montrer que pour des classes d'extension générales, le fibré terme milieu résultant est indécomposable. Ceci est réalisé en analysant l'action du groupe d'automorphismes $\text{Aut}(G_{r-1}) \times \text{Aut}(N_{\epsilon_r})$ sur l'espace d'extension $\text{Ext}^1(G_{r-1}, N_{\epsilon_r})$.
   • En calculant de manière inductive les dimensions des groupes $\text{Hom}$ et $\text{End}$, ils montrent que la dimension de l'espace d'extension est strictement supérieure à la dimension de l'orbite sous l'action du groupe d'automorphismes. Cela garantit qu'une extension générale produit un fibré indécomposable et non isomorphe.

Contributions principales et résultats

• Théorème principal (Partie 1) : Pour le cas $b \geq 0 = a$ et $c \geq b + 1$, l'espace de modules des fibrés d'Ulrich de rang $r$ sur $X$ contient une composante génériquement lisse et unirationale $M(r)$ pour tout $r \geq 2$.

  • La dimension de $M(r)$ est calculée explicitement : $(r^2 - 1)(2c - b - 1)$ pour $r$ impair, et $r^2(2c - b - 1) + 1$ pour $r$ pair.
  • Le point général de $M(r)$ correspond à un fibré d'Ulrix de pente-stable.
  • Par conséquent, $X$ est montrée comme étant géométriquement $h$-Ulrich wild sans lacunes dans les rangs des fibrés de pente-stables ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$).

• Théorème principal (Partie 2) : Pour les cas où $0 \leq a \leq 1, b \geq 2$ ou $b \geq a \geq 1$ (excluant $(1,1)$), $X$ est géométriquement $h$-Ulrich wild.

  • Bien que des composantes modulaires génériquement lisses puissent ne pas exister en raison d'obstructions cohomologiques, l'article prouve l'existence de familles de fibrés d'Ulrich indécomposables de rang arbitraire $r \geq 2$.
  • Cela établit qu'il n'y a pas de lacunes dans les rangs des fibrés d'Ulrich indécomposables ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$), même en présence d'obstructions modulaires.

• Formules des classes de Chern : L'article fournit des formules récursives explicites pour les classes de Chern $c_1, c_2, c_3$ des fibrés d'Ulrich de rang $r$ construits, en distinguant les rangs impairs et pairs.

Signification
Cet article étend la compréhension des fibrés d'Ulrich aux variétés de dimension supérieure où les obstructions modulaires entravent typiquement la classification. En distinguant les cas « hérités » et « obstrués », les auteurs démontrent que la propriété de wildness d'Ulrich est robuste ; elle persiste même lorsque la machinerie standard de construction des espaces de modules lisses échoue. Les résultats confirment que les scrolls de dimension 3 décomposables sur les surfaces de Hirzebruch supportent des géométries internes riches, caractérisées par de grandes familles de fibrés indécomposables. Ce travail s'appuie sur et étend les résultats fondamentaux de [9], en traitant spécifiquement les cas où les paramètres $a$ et $b$ dépassent la plage précédemment étudiée de $0 \leq a \leq b \leq 1$.