Ulrich wildness of some decomposable threefold scrolls over $\mathbb F_a$

Resumo Técnico: Selvageria de Ulrich de Alguns Escaninhos de Três Dobras Decomponíveis sobre $\mathbb{F}_a$

Enunciado do Problema
O artigo investiga a existência e as propriedades estruturais de feixes de Ulrich em escaninhos de três dobras $X$ sobre superfícies de Hirzebruch $\mathbb{F}_a$ ($a \geq 0$). Embora os feixes de Ulrich sejam bem caracterizados para curvas e certas superfícies, sua existência e classificação de posto permanecem amplamente em aberto para variedades de dimensão $n \geq 3$. Especificamente, os autores abordam a "selvageria de Ulrich" de $X$, uma propriedade que indica que a variedade suporta famílias arbitrariamente grandes de feixes de Ulrich não isomorficos e indecomponíveis entre si.

Trabalhos anteriores [9] estabeleceram que, para $0 \leq a \leq b \leq 1$, os espaços de módulos de feixes de Ulrich nestes escaninhos contêm componentes genericamente suaves provenientes de extensões iteradas de feixes de linha específicos. No entanto, este trabalho anterior foi limitado por obstruções modulares nos casos em que $a$ e $b$ estão fora deste intervalo, particularmente impedindo a construção de famílias modulares suaves para feixes de posto superior. Este artigo visa resolver os casos restantes, distinguindo entre cenários onde os feixes são "herdados" da superfície de base e aqueles onde "obstruções" impedem módulos suaves, embora a selvageria ainda ocorra.

Metodologia
Os autores analisam o escaninho de três dobras $X = \mathbb{P}_{\mathbb{F}_a}(E^b_a)$, onde $E^b_a = \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a}(0, -b)$, imerso via um divisor muito amplo $h = \mathcal{O}_a(1, 1, c)$ com $c \geq a + b + 1$. A metodologia baseia-se na construção de feixes de posto $r$ via extensões recursivas de feixes de linha específicos e na análise da dimensão dos espaços de extensão resultantes e dos componentes de módulo.

A abordagem é dividida em dois regimes primários baseados nos parâmetros $a$ e $b$:

1. O Caso Herdado ($b \geq 0 = a$):

   • Os autores consideram deformações de extensões iteradas do par de feixes de linha $(L, L^U)$, que são pullbacks torcidos da base $\mathbb{F}_0$.
   • Eles constroem feixes de posto $r$, $G_r$, via sequências exatas $0 \to G_{r-1} \to G_r \to L_{\epsilon_r} \to 0$, alternando entre $L$ e $L^U$.
   • Para garantir estabilidade e simplicidade para $r \geq 3$, os autores substituem os termos médios estritamente semiestáveis da construção recursiva por feixes de inclinação estável $U_{r-1}$ do componente modular construído anteriormente.
   • Eles computam as classes de Chern recursivamente e determinam a dimensão do espaço de módulo usando o característica de Euler do feixe de endomorfismo.
   • A uniracionalidade dos componentes de módulo é estabelecida relacionando os feixes em $X$ a feixes de Ulrich na base $\mathbb{F}_0$ via uma morfismo do espaço de módulo de feixes em $\mathbb{F}_0$, que é conhecido por ser uniracional.

2. O Caso Obstruído ($b \geq a \geq 0$, excluindo casos pequenos específicos):

   • Este regime envolve o par $(N, N^U)$, onde obstruções cohomológicas (especificamente grupos $H^2$ não nulos) impedem a existência de componentes modulares genericamente suaves para as extensões iteradas.
   • Apesar destas obstruções, os autores provam a selvageria de Ulrich demonstrando a existência de famílias de feixes indecomponíveis.
   • Eles utilizam uma estratégia de extensão alternada semelhante ao caso herdado, mas trabalham com feixes que permanecem estritamente semiestáveis.
   • A chave para a prova é mostrar que, para classes de extensão gerais, o feixe do termo médio resultante é indecomponível. Isso é alcançado analisando a ação do grupo de automorfismo $\text{Aut}(G_{r-1}) \times \text{Aut}(N_{\epsilon_r})$ no espaço de extensão $\text{Ext}^1(G_{r-1}, N_{\epsilon_r})$.
   • Ao computar indutivamente as dimensões dos grupos $\text{Hom}$ e $\text{End}$, eles mostram que a dimensão do espaço de extensão excede estritamente a dimensão da órbita sob a ação do grupo de automorfismo. Isso garante que uma extensão geral produz um feixe não isomórfico e indecomponível.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema Principal (Parte 1): Para o caso $b \geq 0 = a$ e $c \geq b + 1$, o espaço de módulo de feixes de Ulrich de posto $r$ em $X$ contém um componente uniracional e genericamente suave $M(r)$ para qualquer $r \geq 2$.

  • A dimensão de $M(r)$ é computada explicitamente: $(r^2 - 1)(2c - b - 1)$ para $r$ ímpar, e $r^2(2c - b - 1) + 1$ para $r$ par.
  • O ponto geral de $M(r)$ corresponde a um feixe de Ulrich de inclinação estável.
  • Consequentemente, mostra-se que $X$ é geometricamente $h$-Ulrich selvagem com sem lacunas nos postos de feixes de Ulrich de inclinação estável ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$).

• Teorema Principal (Parte 2): Para os casos onde $0 \leq a \leq 1, b \geq 2$ ou $b \geq a \geq 1$ (excluindo $(1,1)$), $X$ é geometricamente $h$-selvagem de Ulrich.

  • Embora componentes modulares genericamente suaves possam não existir devido a obstruções cohomológicas, o artigo prova a existência de famílias de feixes de Ulrich indecomponíveis de posto arbitrário $r \geq 2$.
  • Isso estabelece que não há lacunas nos postos de feixes de Ulrich indecomponíveis ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$), mesmo na presença de obstruções modulares.

• Fórmulas de Classes de Chern: O artigo fornece fórmulas recursivas explícitas para as classes de Chern $c_1, c_2, c_3$ dos feixes de Ulrich de posto $r$ construídos, distinguindo entre postos ímpares e pares.

Significância
O artigo estende a compreensão dos feixes de Ulrich para variedades de maior dimensão onde obstruções modulares tipicamente dificultam a classificação. Ao distinguir entre os casos "herdados" e "obstruídos", os autores demonstram que a propriedade de selvageria de Ulrich é robusta; ela persiste mesmo quando a maquinaria padrão para construir espaços de módulo suaves falha. Os resultados confirmam que escaninhos de três dobras decomponíveis sobre superfícies de Hirzebruch suportam geometrias internas ricas caracterizadas por grandes famílias de feixes de Ulrich indecomponíveis, preenchendo uma lacuna na classificação de feixes de Ulrich para $n \geq 3$. O trabalho baseia-se e estende os resultados fundamentais de [9], abordando especificamente os casos onde os parâmetros $a$ e $b$ excedem o intervalo anteriormente estudado de $0 \leq a \leq b \leq 1$.