Ulrich wildness of some decomposable threefold scrolls over $\mathbb F_a$

Resumen Técnico: Salvajismo de Ulrich de Algunos Escroles de Tres Variedades Descomponibles sobre $\mathbb{F}_a$

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la existencia y las propiedades estructurales de los haces de Ulrich en los esroles de tres variedades $X$ sobre superficies de Hirzebruch $\mathbb{F}_a$ ($a \geq 0$). Si bien los haces de Ulrich están bien caracterizados para curvas y ciertas superficies, su existencia y la clasificación de su rango permanecen en gran medida abiertas para variedades de dimensión $n \geq 3$. Específicamente, los autores abordan el "salvajismo de Ulrich" de $X$, una propiedad que indica que la variedad soporta familias arbitrariamente grandes de haces de Ulrich indecomponibles y no isomorfos entre sí.

Un trabajo previo [9] estableció que para $0 \leq a \leq b \leq 1$, los espacios modulares de haces de Ulrich en estos esroles contienen componentes genéricamente suaves provenientes de extensiones iteradas de haces de línea específicos. Sin embargo, este trabajo anterior estaba limitado por obstrucciones modulares en los casos donde $a$ y $b$ caen fuera de este rango, particularmente impidiendo la construcción de familias modulares suaves para haces de rango superior. Este artículo pretende resolver los casos restantes, distinguiendo entre los escenarios donde los haces son "heredados" de la superficie base y aquellos donde las "obstrucciones" impiden la suavidad de los módulos, aunque el salvajismo de Ulrich aún se mantiene.

Metodología
Los autores analizan el esrole de tres variedades $X = \mathbb{P}_{\mathbb{F}_a}(E^b_a)$, donde $E^b_a = \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a}(0, -b)$, embebido mediante un divisor muy ample $h = \mathcal{O}_a(1, 1, c)$ con $c \geq a + b + 1$. La metodología se basa en la construcción de haces de rango-$r$ de Ulrich mediante extensiones recursivas de haces de línea específicos y el análisis de la dimensión de los espacios de extensión resultantes y de los componentes modulares.

El enfoque se divide en dos regímenes primarios basados en los parámetros $a$ y $b$:

1. El Caso Heredado ($b \geq 0 = a$):

   • Los autores consideran deformaciones de extensiones iteradas del par de haces de línea $(L, L^U)$, que son pullbacks torcidos desde la base $\mathbb{F}_0$.
   • Construyen haces de rango-$r$ $G_r$ mediante sucesiones exactas $0 \to G_{r-1} \to G_r \to L_{\epsilon_r} \to 0$, alternando entre $L$ y $L^U$.
   • Para asegurar la estabilidad y la simplicidad para $r \geq 3$, los autores reemplazan los términos medios estrictamente semiestables de la construcción recursiva con haces de pendiente-estables $U_{r-1}$ del componente modular construido previamente.
   • Computan las clases de Chern recursivamente y determinan la dimensión del espacio modular utilizando la característica de Euler del haz de endomorfismos.
   • La uniracionalidad de los componentes modulares se establece relacionando los haces en $X$ con los haces de Ulrich en la superficie base $\mathbb{F}_0$ mediante un morfismo desde el espacio modular de haces en $\mathbb{F}_0$, el cual es conocido por ser uniracional.

2. El Caso Obstruido ($b \geq a \geq 0$, excluyendo casos pequeños específicos):

   • Este régimen involucra al par $(N, N^U)$, donde las obstrucciones cohomológicas (específicamente grupos $H^2$ no nulos) impiden la existencia de componentes modulares genéricamente suaves para las extensiones iteradas.
   • A pesar de estas obstrucciones, los autores demuestran el salvajismo de Ulrich mediante la demostración de la existencia de familias de haces indecomponibles.
   • Utilizan una estrategia de extensión alternada similar al caso heredado, pero trabajan con haces que permanecen estrictamente semiestables.
   • La clave de la prueba es demostrar que, para clases de extensión generales, el haz del término medio resultante es indecompuesto. Esto se logra analizando la acción del grupo de automorfismos $\text{Aut}(G_{r-1}) \times \text{Aut}(N_{\epsilon_r})$ sobre el espacio de extensión $\text{Ext}^1(G_{r-1}, N_{\epsilon_r})$.
   • Mediante el cálculo inductivo de las dimensiones de los grupos $\text{Hom}$ y $\text{End}$, muestran que la dimensión del espacio de extensión excede estrictamente la dimensión de la órbita bajo la acción del grupo de automorfismos. Esto asegura que una extensión general produzca un haz indecompuesto y no isomorfo.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema Principal (Parte 1): Para el caso $b \geq 0 = a$ y $c \geq b + 1$, el espacio modular de haces de Ulrich de rango-$r$ en $X$ contiene un componente uniracional y genéricamente suave $M(r)$ para cualquier $r \geq 2$.

  • La dimensión de $M(r)$ se computa explícitamente: $(r^2 - 1)(2c - b - 1)$ para $r$ impar, y $r^2(2c - b - 1) + 1$ para $r$ par.
  • El punto general de $M(r)$ corresponde a un haz de Ulrich de pendiente-estable.
  • Consecuentemente, se demuestra que $X$ es geométricamente $h$-Ulrich salvaje sin brechas en los rangos de los haces de pendiente-estables ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$).

• Teorema Principal (Parte 2): Para los casos donde $0 \leq a \leq 1, b \geq 2$ o $b \geq a \geq 1$ (excluyendo $(1,1)$), $X$ es geométricamente $h$-Ulrich salvaje.

  • Aunque pueden no existir componentes modulares genéricamente suaves debido a obstrucciones cohomológicas, el artículo demuestra la existencia de familias de haces de Ulrich indecomponibles de rango arbitrario $r \geq 2$.
  • Esto establece que no hay brechas en los rangos de los haces de Ulrich indecomponibles ($U_r(X) = \mathbb{N}^*$), incluso en presencia de obstrucciones modulares.

• Fórmulas de Clases de Chern: El artículo proporciona fórmulas recursivas explícitas para las clases de Chern $c_1, c_2, c_3$ de los haces de Ulrich de rango-$r$ construidos, distinguiendo entre rangos pares e impares.

Significado
El artículo extiende la comprensión de los haces de Ulrich a variedades de mayor dimensión donde las obstrucciones modulares típicamente dificultan la clasificación. Al distinguir entre los casos "heredados" y "obstruidos", los autores demuestran que la propiedad de salvajismo de Ulrich es robusta; persiste incluso cuando la maquinaria estándar para construir espacios modulares suaves falla. Los resultados confirman que los esroles de tres variedades descomponibles sobre superficies de Hirzebruch soportan geometrías internas ricas caracterizadas por grandes familias de haces de Ulrich indecomponibles, llenando un vacío en la clasificación de haces de Ulrich para $n \geq 3$. El trabajo se apoya y extiende los resultados fundamentales de [9], abordando específicamente los casos donde los parámetros $a$ y $b$ exceden el rango previamente estudiado de $0 \leq a \leq b \leq 1$.