Ulrich wildness of some decomposable threefold scrolls over $\mathbb F_a$

技术摘要：关于 $\mathbb{F}_a$ 上某些可分解三维卷曲的 Ulrich 狂野性

问题陈述
本文研究了在 Hirzebruch 曲面 $\mathbb{F}_a$ ($a \geq 0$) 上的三维卷曲 $X$ 上 Ulrich 丛的存在性及其结构性质。虽然 Ulrich 丛在曲线和某些曲面上已有明确表征，但其存在性及秩的分类在维度 $n \geq 3$ 的簇上仍在大规模开放中。具体而言，作者探讨了 $X$ 的“Ulrich 狂野性”（Ulrich wildness）这一属性，该属性表明该簇支持任意大的、互不同构的不可分解 Ulrich 丛族。

前人的工作 [9] 已经确定，对于 $0 \leq a \leq b \leq 1$ 的情形，这些卷曲上的 Ulrich 丛的模空间包含由特定线丛的迭代扩张所产生的正则光滑分量。然而，由于在 $a$ 和 $b$ 超出此范围时存在模障碍（modular obstructions），前人的工作受到限制，特别是在构建高秩丛的平滑模族方面。本文旨在解决剩余的情形，区分哪些情况是“继承自”基曲面的，以及哪些情况是由于“障碍”导致无法形成平滑模空间，但仍保持狂野性的情形。

方法论
作者分析了三维卷曲 $X = \mathbb{P}_{\mathbb{F}_a}(E^b_a)$，其中 $E^b_a = \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{F}_a}(0, -b)$，通过非常稠密除子 $h = \mathcal{O}_a(1, 1, c)$ 嵌入，且满足 $c \geq a + b + 1$。研究方法依赖于通过特定线丛的递归扩张来构造秩为 $r$ 的 Ulrich 丛，并分析由此产生的扩张空间及模分量的维度。

该方法根据参数 $a$ 和 $b$ 分为两个主要范畴：

1. 继承情形 ($b \geq 0 = a$)：

   • 作者考虑了来自基曲面 $\mathbb{F}_0$ 的一对线丛 $(L, L^U)$ 的扭转拉回的迭代扩张的变形。
   • 他们通过在 $L$ 与 $L^U$ 之间交替进行的精确序列 $0 \to G_{r-1} \to G_r \to L_{\epsilon_r} \to 0$ 来构造秩为 $r$ 的丛 $G_r$。
   • 为了确保当 $r \geq 3$ 时的稳定性与简单性，作者使用先前构造出的模分量中的斜率稳定丛 $U_{r-1}$ 替换了递归构造中严格半稳定的中间项。
   • 他们递归地计算 Chern 类，并利用自同构丛的欧拉示性数来确定模空间的维度。
   • 通过将 $X$ 上的丛与 $\mathbb{F}_0$ 上的丛通过一个态射联系起来，建立了模分量的单有理性，而 $\mathbb{F}_0$ 上的丛模空间已知是单有理的。

2. 受阻情形 ($b \geq a \geq 0$，排除特定小规模情形)：

   • 此范畴涉及对 $(N, N^U)$ 的分析，其中上同调障碍（特别是非零 $H^2$ 群）阻止了迭代扩张产生正则光滑的模分量。
   • 尽管存在这些障碍，作者通过证明存在不可分解丛的族来证明 Ulrich 狂野性。
   • 他们采用了类似于继承情形的交替扩张策略，但处理的是保持严格半稳定的丛。
   • 证明的关键在于证明对于一般的扩张类，所得的中间项丛是不可分解的。这是通过分析自同构群 $\text{Aut}(G_{r-1}) \times \text{Aut}(N_{\epsilon_r})$ 在扩张空间 $\text{Ext}^1(G_{r-1}, N_{\epsilon_r})$ 上的作用来实现的。
   • 通过归纳地计算 $\text{Hom}$ 群和 $\text{End}$ 群的维度，他们证明了扩张空间的维度严格大于自同构群作用下的轨道维度。这确保了一般的扩张会产生一个非同构的、不可分解的丛。

主要贡献与结果

• 主定理 (第 1 部分)： 对于 $b \geq 0 = a$ 且 $c \geq b + 1$ 的情形，对于任何 $r \geq 2$，秩为 $r$ 的 Ulrich 丛在 $X$ 上的模空间包含一个正则光滑的单有理分量 $M(r)$。

  • $M(r)$ 的维度被显式计算为：当 $r$ 为奇数时为 $(r^2 - 1)(2c - b - 1)$；当 $r$ 为偶数时为 $r^2(2c - b - 1) + 1$。
  • $M(r)$ 的一般点对应于一个斜率稳定 Ulrich 丛。
  • 因此，$X$ 被证明是几何 $h$-Ulrich 狂野的，且在斜率稳定 Ulrich 丛的秩上没有间隙（$U_r(X) = \mathbb{N}^*$）。

• 主定理 (第 2 部分)： 对于 $0 \leq a \leq 1, b \geq 2$ 或 $b \geq a \geq 1$（排除 $(1,1)$）的情形，$X$ 是几何 $h$-Ulrich 狂野的。

  • 尽管由于上同调障碍，正则光滑的模分量可能不存在，但本文证明了存在任意秩 $r \geq 2$ 的不可分解 Ulrich 丛族。
  • 这确立了即使在存在模障碍的情况下，不可分解 Ulrich 丛的秩也没有间隙（$U_r(X) = \mathbb{N}^*$）。

• Chern 类公式： 本文提供了所构造的秩为 $r$ 的 Ulrich 丛的 Chern 类 $c_1, c_2, c_3$ 的显式递归公式，并区分了奇数秩和偶数秩的情况。

意义
本文将对 Ulrich 丛的理解扩展到了通常受模障碍阻碍分类的高维簇。通过区分“继承”与“受阻”情形，作者证明了 Ulrich 狂野性这一属性具有鲁棒性；即使在标准构造平滑模空间的机制失效时，该属性依然存在。研究结果证实，位于 Hirzebruch 曲面上的可分解三维卷曲支持着丰富的内部几何结构，其特征是拥有大规模的不可分解 Ulrich 丛族。这项工作依赖并扩展了 [9] 的基础结果，特别是解决了参数 $a$ 和 $b$ 超过此前研究范围（即 $0 \leq a \leq b \leq 1$）的情形。