Dynamic scaling and Family-Vicsek universality in the Hubbard model at infinite temperature

Sintesi Tecnica: Scaling Dinamico e Universalità di Family–Vicsek nel Modello di Hubbard a Temperatura Infinita

Enunciato del Problema
Questo lavoro investiga le proprietà di trasporto e la dinamica delle fluttuazioni del modello di Fermi–Hubbard monodimensionale a temperatura infinita. Nello specifico, gli autori mirano a caratterizzare il comportamento di scaling delle fluttuazioni di carica, spin ed energia all'interno di sottosistemi. Lo studio si concentra su come queste fluttuazioni evolvano dai regimi microscopici a breve termine verso finestre idrodinamiche a lungo termine, e su come tali comportamenti dipendano dall'integrabilità del sistema. La domanda centrale è se il framework di scaling di Family–Vicsek (FV), originariamente sviluppato per la crescita di interfacce classiche, sia applicabile ai sistemi quantistici a molti corpi e come le classi di universalità dei settori di carica, spin ed energia differiscano sotto diverse intensità di interazione e condizioni di integrabilità.

Metodologia
Gli autori utilizzano un approccio basato sulla Funzione Generatrice Quantistica (QGF) per calcolare i cumulanti dipendenti dal tempo delle quantità conservate trasferite senza ricostruire l'intera distribuzione di probabilità.

• Modello: Lo studio utilizza l'Hamiltoniana di Hubbard 1D ($H_{\text{Hubb}}$) con hopping a primo vicino ($J$) e interazione on-site ($U$). Per sondare gli effetti della rottura dell'integrabilità, viene aggiunta un'interazione di densità a secondo vicino ($V$) ($H = H_{\text{Hubb}} + H_{\text{NNN}}$).
• Stato Iniziale: Le simulazioni sono eseguite a temperatura infinita, rappresentata da una matrice di densità completamente mista $\rho_\infty = 1/4^L$, corrispondente al semipieno e a magnetizzazione nulla.
• Tecnica Numerica: La QGF viene valutata utilizzando rappresentazioni di Operatori a Matrice di Prodotto (MPO) e il metodo Time-Evolving Block Decimation (TEBD) nello spazio di Liouville. Il metodo prevede l'applicazione di un operatore di "torsione" $R(\lambda) = e^{i\lambda Q_\ell}$ a un segmento della catena, l'evoluzione dello stato ed l'estrazione dei cumulanti dalla funzione caratteristica.
• Analisi di Scaling: Gli autori analizzano la "rugosità" $W(\ell, t)$, definita come la radice quadrata del secondo cumulante della quantità trasferita in un sottosistema di dimensione $\ell$. Testano l'ansatz di scaling FV $W(\ell, t) \sim \ell^\alpha f(t/\ell^z)$ per estrarre l'esponente di rugosità ($\alpha$), l'esponente di crescita ($\beta$) e l'esponente dinamico ($z$).

Contributi Chiave e Risultati
Il documento stabilisce una mappatura completa dei regimi di trasporto nel modello di Hubbard analizzando tre settori distinti: carica, spin ed energia.

1. Regime Microscopico Universale a Breve Termine:
   In tutti i settori e regimi di parametri (libero, interagente integrabile e non integrabile), gli autori osservano un regime a breve termine in cui le fluttuazioni crescono ballisticamente ($W \sim t$). Questo precede l'emergere della finestra di scaling idrodinamico.

2. Settori di Carica e Spin:

• Limite Libero ($U=0, V=0$): Sia la carica che lo spin esibiscono un trasporto ballistico con esponente dinamico $z=1$ (esponente di crescita $\beta=1/2$).
• Limite Interagente Integrabile ($U \neq 0, V=0$): Il sistema transita alla classe di universalità di Kardar–Parisi–Zhang (KPZ). L'esponente dinamico diventa $z=3/2$ ($\beta=1/3$), indicando un trasporto superdiffusivo.
• Limite Non Integrabile ($V \neq 0$): La rottura dell'integrabilità spinge il sistema in un regime diffusivo con $z=2$ ($\beta=1/4$).

3. Settore di Energia:

• Regime Integrabile ($V=0$): A differenza dei settori di carica e spin, il settore dell'energia rimane balistico ($z=1$) anche in presenza di interazioni on-site finite ($U \neq 0$). Gli autori attribuiscono ciò al fatto che la corrente di energia non si accoppia alle cariche non assolute responsabili dell'anomalia KPZ negli altri settori.
• Regime Non Integrabile ($V \neq 0$): Similmente agli altri settori, la rottura dell'integrabilità rende il trasporto di energia diffusivo ($z=2$).

4. Universalità della Rugosità:
   L'esponente di rugosità $\alpha$ è trovato essere universale ($\alpha = 1/2$) in tutti i settori e regimi, coerentemente con le aspettative per i sistemi monodimensionali.

Significatività e Rivendicazioni
Il lavoro sostiene che il framework di scaling di Family–Vicsek fornisca un metodo compatto e unificato per organizzare e distinguere il trasporto ballistico, anomalo (KPZ) e diffusivo all'interno del modello di Hubbard. La principale significatività risiede nel dimostrare che l'integrabilità è il fattore determinante per la dinamica a lungo termine, ma il suo effetto è dipendente dal settore:

• Nella catena di Hubbard integrabile, carica e spin esibiscono scaling KPZ, mentre l'energia rimane balistica.
• La rottura dell'integrabilità (tramite $V$) ripristina universalmente il comportamento diffusivo in tutti i settori.

Gli autori sottolineano come i loro risultati colleghino le leggi di conservazione microscopiche e l'integrabilità all'idrodinamica emergente. Notano che, mentre lavori precedenti si sono concentrati su sistemi non interagenti o limiti specifici, questo studio confronta sistematicamente carica, spin ed energia su un piano paritario sia in regimi integranti che non integranti. I risultati suggeriscono che il trasporto di energia segua una via distinta da quella di carica e spin lungo la linea integrante, una sfumatura catturata efficacemente dall'analisi di scaling FV. Il lavoro è motivato dalla disponibilità di simulatori quantistici a atomi freddi capaci di sondare tali dinamiche ad alta temperatura e lontano dall'equilibrio.