Hölder regularity up to the boundary for the g-Laplacian on Reifenberg flat domains

Sintesi Tecnica: Regolarità di Hölder fino al bordo per il $g$-Laplaciano su domini Reifenberg Flat

Enunciato del Problema
Questo manoscritto investiga la regolarità al bordo di soluzioni deboli di una classe di problemi di Dirichlet ellittici non lineari guidati dall'operatore $g$-Laplaciano, definito come $\Delta_g u := \text{div}\left(\frac{g(|\nabla u|)}{|\nabla u|} \nabla u\right)$. L'operatore è associato a una funzione di Young $G$ (dove $G' = g$) che soddisfa specifiche condizioni strutturali: una condizione primitiva (PC) e una condizione di quoziente (QC) caratterizzate dalle costanti $0 < \delta_0 \le g_0$. Queste condizioni comprendono il classico $p$-Laplaciano così come operatori con crescita non standard, quali quelli che coinvolgono termini logaritmici.

La sfida principale affrontata è l'instaurazione della continuità di Hölder delle soluzioni fino al bordo quando il dominio sottostante $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ manca di regolarità. Nello specifico, lo studio si concentra su domini Reifenberg flat, una classe geometrica in cui il bordo è localmente approssimato da iperpiani entro un margine di errore $\delta$ controllato. A differenza dei classici domini regolari, i domini Reifenberg flat possono possedere bordi di tipo frattale, presentando significative difficoltà analitiche per la teoria della regolarità.

Metodologia
La strategia di prova combina argomenti di decadimento iterativo con un principio di massimo specializzato, adattato all'ambito Orlicz-Sobolev. La metodologia procede attraverso le seguenti fasi chiave:

1. Framework e Spazi: L'analisi è condotta all'interno degli spazi di Orlicz $L^G(\Omega)$ e degli spazi Orlicz-Sobolev $W^{1,G}(\Omega)$. Gli autori utilizzano le proprietà strutturali di $G$ e $g$ (inclusa la convessità e i vincoli di crescita derivati da $\delta_0$ e $g_0$) per stabilire le necessarie disuguaglianze, quali le disuguaglianze di tipo Poincaré e le stime di monotonicità (Lemma 2.7).
2. Funzioni Barriera e Decadimento Iterativo: Per dimostrare la continuità di Hölder in un punto di bordo, gli autori impiegano un argomento di induzione. Costruiscono specifiche funzioni barriera (basate su potenze della distanza da un'origine traslata) che soddisfano $\Delta_g \tilde{h} \le 0$. Confrontando la soluzione $u$ con queste barriere su scale decrescenti $\rho^k$, mirano a dimostrare che l'oscillazione di $u$ decade a un tasso proporzionale a $\rho^{k\alpha}$.
3. Gestione della Non-Omogeneità: Un ostacolo tecnico critico è la mancanza di omogeneità nel $g$-Laplaciano (a differenza del $p$-Laplaciano). Gli autori sviluppano nuovi argomenti per gestire la differenza tra due soluzioni, la quale non soddisfa un equazione omogenea.
4. Massimo di Tipo ABP: Per superare la difficoltà delle differenze non omogenee, il lavoro stabilisce una stima di tipo Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) per la differenza di soluzioni deboli. Ciò comporta:
   • La definizione di un insieme $A(k)$ dove la differenza tra le soluzioni eccede una soglia.
   • L'utilizzo di un lemma tecnico (Lemma 4.1) riguardante funzioni non crescenti per derivare stime di decadimento.
   • L'applicazione della disuguaglianza di Young e delle proprietà della funzione coniugata $\tilde{G}$ per limitare l'integrale della differenza del gradiente tramite la norma $L^q$ della differenza del termine sorgente.
   • La derivazione di una disuguaglianza ricorsiva per la misura dell'insieme $A(k)$, portando a un limite sul supremo della differenza della soluzione.

Contributi Chiave e Risultati
Il documento stabilisce due teoremi principali riguardanti la regolarità di Hölder delle soluzioni deboli $u$ fino al bordo:

• Teorema 1.4 ($g$-Funzioni Armoniche): Per funzioni $g$-armoniche ($\Delta_g u = 0$) con dati al bordo $\psi \in C^\alpha$, gli autori dimostrano che, se il dominio è sufficientemente $\delta$-Reifenberg flat (con $\delta$ dipendente dalle costanti strutturali e da $\alpha$), la soluzione è $C^\alpha$ nel punto di bordo. La stima dipende dalla norma $L^\infty$ della soluzione e dal seminorma di Hölder dei dati al bordo.
• Teorema 1.5 (Caso Non-Omogeneo): Per l'equazione $\Delta_g u = f$ con $f$ appartenente a un particolare spazio di tipo Morrey $C^{-n/q, (1+g_0)\alpha}_q$, e assumendo che $g$ sia convessa con $1 < \delta_0 \le g_0$, si dimostra che la soluzione è $C^\alpha$ fino al bordo. La stima di regolarità tiene esplicitamente conto delle norme del termine sorgente $f$, dei dati al bordo $\psi$ e della soluzione stessa.
• Corollario 1.6 (Regolarità Globale): Combinando le stime al bordo con la preesistente teoria della regolarità interiore, il lavoro conclude che la continuità di Hölder globale ($u \in C^\beta(\Omega)$) è valida per le soluzioni su domini che sono $\delta$-Reifenberg flat in ogni punto del bordo.

Significatività e Rivendicazioni
Il lavoro sostiene di estendere la teoria della regolarità al bordo al framework del $g$-Laplaciano su domini Reifenberg flat, un contesto che generalizza i risultati precedenti per il Laplaciano, il $p$-Laplaciano e il Laplaciano frazionario.

Gli autori evidenziano come l'assenza di omogeneità nel $g$-Laplaciano crei sfide aggiuntive rispetto al caso omogeneo del $p$-Laplaciano. Di conseguenza, il lavoro richiede lo sviluppo di nuovi argomenti, in particolare la derivazione di una stima di tipo ABP su misura per l'ambito Orlicz-Sobolev e le specifiche condizioni strutturali di $G$. I risultati forniscono stime quantitative sulla regolarità delle soluzioni, dimostrando che la sufficiente piattezza del bordo (controllata da $\delta$) è una condizione geometrica robusta che garantisce la continuità di Hölder anche per operatori con crescita non standard o con comportamento singolare o degenero.