Hölder regularity up to the boundary for the g-Laplacian on Reifenberg flat domains

Resumen Técnico: Regularidad de Hölder hasta la Frontera para el $g$-Laplaciano en Dominios de Tipo Reifenberg

Planteamiento del Problema
Este manuscrito investiga la regularidad en la frontera de soluciones débiles de una clase de problemas de Dirichlet elípticos no lineales impulsados por el operador $g$-laplaciano, definido como $\Delta_g u := \text{div}\left(\frac{g(|\nabla u|)}{|\nabla u|} \nabla u\right)$. El operador está asociado con una función Young $G$ (donde $G' = g$) que satisface condiciones estructurales específicas: una condición de primitiva (PC) y una condición de cociente (QC) caracterizadas por constantes $0 < \delta_0 \le g_0$. Estas condiciones abarcan el $p$-laplaciano clásico, así como operadores con crecimiento no estándar, tales como aquellos que involucran términos logarítmicos.

El desafío principal abordado es establecer la continuidad de Hölder de las soluciones hasta la frontera cuando el dominio subyacente $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ carece de suavidad. Específicamente, el estudio se centra en dominios de tipo Reifenberg (Reifenberg flat domains), una clase geométrica donde la frontera es localmente aproximada por hiperplanos dentro de un margen de error controlado $\delta$. A diferencia de los dominios clásicos suaves, los dominios de tipo Reifenberg pueden poseer fronteras de naturaleza fractal, lo que presenta dificultades analíticas significativas para la teoría de regularidad.

Metodología
La estrategia de demostración combina argumentos de decaimiento iterativo con un principio del máximo especializado y adaptado al entorno de Orlicz-Sobolev. La metodología avanza a través de las siguientes etapas clave:

1. Marco y Espacios: El análisis se lleva a cabo dentro de los espacios de Orlicz $L^G(\Omega)$ y los espacios de Orlicz-Sobolev $W^{1,G}(\Omega)$. Los autores utilizan las propiedades estructurales de $G$ y $g$ (incluyendo la convexidad y las cotas de crecimiento derivadas de $\delta_0$ y $g_0$) para establecer desigualdades necesarias, tales como desigualdades de tipo Poincaré y estimaciones de monotonicidad (Lema 2.7).
2. Funciones Barrera y Decaimiento Iterativo: Para probar la continuidad de Hölder en un punto de la frontera, los autores emplean un argumento de inducción. Construyen funciones barrera específicas (basadas en potencias de la distancia a un origen desplazado) que satisfacen $\Delta_g \tilde{h} \le 0$. Al comparar la solución $u$ con estas barreras en escalas decrecientes $\rho^k$, pretenden demostrar que la oscilación de $u$ decae a una tasa proporcional a $\rho^{k\alpha}$.
3. Manejo de la No Homogeneidad: Un obstáculo técnico crítico es la falta de homogeneidad en el $g$-laplaciano (a diferencia del $p$-laplaciano). Los autores desarrollan nuevos argumentos para gestionar la diferencia entre dos soluciones, la cual no satisface una ecuación homogénea.
4. Principio del Máximo de Tipo ABP: Para superar la dificultad de las diferencias no homogéneas, el artículo establece una estimación de tipo Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) para la diferencia de soluciones débiles. Esto implica:
   • Definir un conjunto $A(k)$ donde la diferencia entre soluciones excede un umbral.
   • Utilizar un lema técnico (Lema 4.1) relativo a funciones no crecientes para derivar estimaciones de decaimiento.
   • Aplicar la desigualdad de Young y las propiedades de la función conjugada $\tilde{G}$ para acotar la integral de la diferencia del gradiente mediante la norma $L^q$ de la diferencia del término fuente.
   • Derivar una desigualdad recursiva para la medida del conjunto $A(k)$, lo que conduce a una cota sobre el supremo de la diferencia de la solución.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece dos teoremas principales respecto a la regularidad de Hölder de las soluciones débiles $u$ hasta la frontera:

• Teorema 1.4 ($g$-Funciones Armónicas): Para funciones $g$-armónicas ($\Delta_g u = 0$) con datos de frontera $\psi \in C^\alpha$, los autores demuestran que, si el dominio es suficientemente $\delta$-Reifenberg flat (con $\delta$ dependiendo de las constantes estructurales y $\alpha$), la solución es $C^\alpha$ en el punto de la frontera. La estimación depende de la norma $L^\infty$ de la solución y de la seminorma de Hölder de los datos de frontera.
• Teorema 1.5 (Caso No Homogéneo): Para la ecuación $\Delta_g u = f$ con $f$ perteneciente a un espacio específico de tipo Morrey $C^{-n/q, (1+g_0)\alpha}_q$, y asumiendo que $g$ es convexa con $1 < \delta_0 \le g_0$, se demuestra que la solución es $C^\alpha$ hasta la frontera. La estimación de regularidad contabiliza explícitamente las normas del término fuente $f$, de los datos de frontera $\psi$ y de la propia solución.
• Corolario 1.6 (Regularidad Global): Al combinar las estimaciones de frontera con la teoría de regularidad interior existente, el artículo concluye que la continuidad de Hölder global ($u \in C^\beta(\Omega)$) se cumple para soluciones en dominios que son $\delta$-Reifenberg flat en cada punto de la frontera.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma extender la teoría de la regularidad en la frontera al marco del $g$-laplaciano en dominios de tipo Reifenberg, un entorno que generaliza resultados previos para el Laplaciano, el $p$-laplaciano y el Laplaciano fraccionario.

Los autores destacan que la ausencia de homogeneidad en el $g$-laplaciano crea desafíos adicionales en comparación con el caso homogéneo del $p$-laplaciano. Por consiguiente, el trabajo requiere el desarrollo de nuevos argumentos, particularmente la derivación de una estimación de tipo ABP adaptada al entorno de Orlicz-Sobolev y a las condiciones estructurales específicas de $G$. Los resultados proporcionan estimaciones cuantitativas para la regularidad de las soluciones, demostrando que la planitud suficiente de la frontera (controlada por $\delta$) es una condición geométrica robusta que asegura la continuidad de Hölder incluso para operadores con crecimiento no estándar y comportamiento singular o degenerado.