Hölder regularity up to the boundary for the g-Laplacian on Reifenberg flat domains

Technische Samenvatting: Hölder-regulariteit tot aan de rand voor de g-Laplace-operator op Reifenberg-vlakke domeinen

Probleemstelling
Dit manuscript onderzoekt de randregulariteit van zwakke oplossingen voor een klasse nietlineaire elliptische Dirichlet-problemen gedreven door de g-Laplace-operator, gedefinieerd als $\Delta_g u := \text{div}\left(\frac{g(|\nabla u|)}{|\nabla u|} \nabla u\right)$. De operator is geassocieerd met een Young-functie $G$ (waarbij $G' = g$) die specifieke structurele condities voldoet: een primitieve conditie (PC) en een quotientconditie (QC) gekenmerkt door constanten $0 < \delta_0 \le g_0$. Deze condities omvatten de klassieke $p$-Laplace-operator evenals operatoren met niet-standaard groei, zoals die met logaritmische termen.

De primaire uitdaging die wordt aangepakt, is het vaststellen van Hölder-continuïteit van oplossingen tot aan de rand wanneer het onderliggende domein $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ geen gladheid bezit. Specifiek richt het onderzoek zich op Reifenberg-vlakke domeinen, een geometrische klasse waarbij de rand lokaal wordt benaderd door hypervlakken binnen een gecontroleerde foutmarge $\delta$. In tegenstelling tot klassieke gladde domeinen kunnen Reifenberg-vlakke domeinen een fractal-achtige rand hebben, wat aanzienlijke analytische moeilijkheden met zich meebrengt voor de regulariteitstheorie.

Methodologie
De bewijstrategie combineert iteratieve vervalargumenten met een gespecialiseerd maximumprincipe aangepast aan de Orlicz-Sobolev-setting. De methodologie verloopt via de volgende belangrijke stappen:

1. Kader en Ruimtes: De analyse wordt uitgevoerd binnen Orlicz-ruimtes $L^G(\Omega)$ en Orlicz-Sobolev-ruimtes $W^{1,G}(\Omega)$. De auteurs maken gebruik van de structurele eigenschappen van $G$ en $g$ (inclusief convexiteit en groeibeperkingen afgeleid van $\delta_0$ en $g_0$) om noodzakelijke ongelijkheden vast te stellen, zoals Poincaré-type ongelijkheden en monotoniciteitsinschattingen (Lemma 2.7).
2. Barrièrefuncties en Iteratief Verval: Om Hölder-continuïteit in een randpunt te bewijzen, gebruiken de auteurs een inductieargument. Zij construeren specifieke barrièrefuncties (gebaseerd op machten van de afstand tot een verschoven oorsprong) die voldoen aan $\Delta_g \tilde{h} \le 0$. Door de oplossing $u$ te vergelijken met deze barrières op verkleinende schalen $\rho^k$, beogen zij aan te tonen dat de oscillatie van $u$ vervalt met een snelheid proportioneel aan $\rho^{k\alpha}$.
3. Afhandeling van Niet-Homogeniteit: Een kritieke technische hindernis is het gebrek aan homogeniteit in de g-Laplace-operator (in tegen tegenstelling tot de $p$-Laplace-operator). De auteurs ontwikkelen nieuwe argumenten om het verschil tussen twee oplossingen te beheren, wat niet een homogene vergelijking bevredigt.
4. ABP-type Maximumprincipe: Om de moeilijkheid van niet-homogene verschillen te overwinnen, stellen de auteurs een Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP)-type schatting vast voor het verschil tussen zwakke oplossingen. Dit omvat:
   • Het definiëren van een verzameling $A(k)$ waar het verschil tussen oplossingen een drempel overschrijdt.
   • Het gebruik van een technisch lemma (Lemma 4.1) betreffende niet-monotoon afnemende functies om verval-inschattingen af te leiden.
   • Het toepassen van de Young-ongelijkheid en eigenschappen van de conjunctie-functie $\tilde{G}$ om de integraal van het gradiëntverschil te begrenzen door de $L^q$-norm van de bronterm-verschillen.
   • Het afleiden van een recursieve ongelijkheid voor de maat van de verzameling $A(k)$, leidend tot een bovengrens voor het supremum van het oplossingverschil.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel stelt twee hoofdtheorema's vast met betrekking tot de Hölder-regulariteit van zwakke oplossingen $u$ tot aan de rand:

• Theorem 1.4 (g-Harmonische Functies): Voor g-harmonische functies ($\Delta_g u = 0$) met randgegevens $\psi \in C^\alpha$, bewijzen de auteurs dat indien het domein voldoende $\delta$-Reifenberg-vlak is (waarbij $\delta$ afhangt van structurele constanten en $\alpha$), de oplossing $C^\alpha$ is bij het randpunt. De inschatting hangt af van de $L^\infty$-norm van de oplossing en de Hölder-seminorm van de randgegevens.
• Theorem 1.5 (Niet-Homogeen Geval): Voor de vergelijking $\Delta_g u = f$ met $f$ behorend tot een specifieke Morrey-type ruimte $C^{-n/q, (1+g_0)\alpha}_q$, en uitgaande van het feit dat $g$ convex is met $1 < \delta_0 \le g_0$, wordt aangetoond dat de oplossing $C^\alpha$ is tot aan de rand. De regulariteitsinschatting houdt expliciet rekening met de normen van de bronterm $f$, de randgegevens $\psi$ en de oplossing zelf.
• Corollary 1.6 (Globale Regulariteit): Door de rand-inschattingen te combineren met bestaande interne regulariteitstheorie, concludeert het artikel dat globale Hölder-continuïteit ($u \in C^\beta(\Omega)$) geldt voor oplossingen op domeinen die op elk randpunt $\delta$-Reiferberg-vlak zijn.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de theorie van randregulariteit uit te breiden naar het kader van de g-Laplace-operator op Reifenberg-vlakke domeinen, een setting die eerdere resultaten voor de Laplace-operator, $p$-Laplace-operator en fractionele Laplace-operator generaliseert.

De auteurs benadrukken dat de afwezigheid van homogeniteit in de g-Laplace-operator extra uitdagingen creëert vergeleken met de homogene $p$-Laplace-gevallen. Bijgevolg vereist het werk de ontwikkeling van nieuwe argumenten, met name de afleiding van een ABP-type inschatting die op maat is gemaakt voor de Orlicz-Sobolev-setting en de specifieke structurele condities van $G$. De resultaten bieden kwantitatieve inschattingen van de regulariteit van oplossingen, waarbij wordt aangetoond dat voldoende vlakheid van de rand (gecontroleerd door $\delta$) een robuuste geometrische conditie is die Hölder-continuïteit garandeert, zelfs voor operatoren met niet-standaard groei en singuliere of gedegenereerde eigenschappen.