Hölder regularity up to the boundary for the g-Laplacian on Reifenberg flat domains

技术摘要：Reifenberg 平坦域上 $g$-Laplacian 的边界 Hölder 正则性

问题陈述
本手稿研究了由 $g$-Laplacian 算子驱动的一类非线性椭圆 Dirichlet 问题弱解的边界正则性。该算子定义为 $\Delta_g u := \text{div}\left(\frac{g(|\nabla u|)}{|\nabla u|} \nabla u\right)$，与满足特定结构条件（原初条件 (PC) 和商条件 (QC)，由常数 $0 < \delta_0 \le g_0$ 表征）的 Young 函数 $G$（其中 $G' = g$）相关联。这些条件涵盖了经典的 $p$-Laplacian 以及涉及对数项的非标准增长算子。

本文解决的主要挑战是在底层区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 缺乏光滑性的情况下，建立解在边界处的 Hölder 连续性。具体而言，研究重点是 Reifenberg 平坦域，这是一类几何类，其边界在受控误差范围内被超平面局部逼近。与经典的平滑区域不同，Reifenberg 平坦域可能具有分形特征的边界，这为正则性理论带来了显著的分析困难。

方法论
证明策略结合了迭代衰减论证与一种适用于 Orlicz-Sobolev 框架的专门极大值原理。该方法通过以下关键步骤进行：

1. 框架与空间： 分析在 Orlicz 空间 $L^G(\Omega)$ 和 Orlicz-Sobolev 空间 $W^{1,G}(\Omega)$ 中进行。作者利用 $G$ 和 $g$ 的结构性质（包括由 $\delta_0$ 和 $g_0$ 导出的凸性和增长界限）来建立必要的不等式，例如 Poincaré 型不等式和单调性估计（引理 2.7）。
2. 障碍函数与迭代衰减： 为了证明边界点处的 Hölder 连续性，作者采用了归纳论证。他们构造了特定的障碍函数（基于相对于平移原点的距离的幂次），这些函数满足 $\Delta_g \tilde{h} \le 0$。通过将解 $u$ 与这些障碍函数在缩小的尺度 $\rho^k$ 上进行比较，旨在证明 $u$ 的振荡以正比于 $\rho^{k\alpha}$ 的速率衰减。
3. 处理非齐次性： $g$-Laplacian 缺乏齐次性（与 $p$-Laplacian 不同）是一个关键的技术障碍。作者开发了新的论证方法来处理两个解之间的差异，因为该差异并不满足齐次方程。
4. ABP 型极大值原理： 为了克服非齐次差异带来的困难，本文建立了一个针对解之差的 Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) 型估计。这包括：
   • 定义一个集合 $A(k)$，其中解之差超过某一阈值。
   • 利用关于非增函数的专门引理（引理 4.1）来导出衰减估计。
   • 应用 Young 不等式和共轭函数 $\tilde{G}$ 的性质，通过梯度差的积分来控制源项差异的 $L^q$ 范数。
   • 推导关于集合 $A(k)$ 测度的递推不等式，从而得出解之差的上确界界限。

主要贡献与结果
本文建立了关于弱解 $u$ 在边界处 Hölder 正则性的两个主要定理：

• 定理 1.4 ($g$-调和函数)： 对于 $g$-调和函数（$\Delta_g u = 0$）且边界数据 $\psi \in C^\alpha$，作者证明如果区域是充分 $\delta$-Reifenberg 平坦的（其中 $\delta$ 取决于结构常数和 $\alpha$），则解在边界点处是 $C^\alpha$ 的。该估计取决于解的 $L^\infty$ 范数和边界数据的 Hölder 半范数。
• 定理 1.5 (非齐次情况)： 对于方程 $\Delta_g u = f$，其中 $f$ 属于特定的 Morrey 型空间 $C^{-n/q, (1+g_0)\alpha}_q$，且假设 $g$ 是凸的并满足 $1 < \delta_0 \le g_0$，证明了解在边界处是 $C^\alpha$ 的。正则性估计明确考虑了源项 $f$、边界数据 $\psi$ 以及解本身的范数。
• 推论 1.6 (全局正则性)： 通过将边界估计与现有的内部正则性理论相结合，本文得出结论：对于在每个边界点都满足 $\delta$-Reifenberg 平坦的区域，全局 Hölder 连续性（$u \in C^\beta(\Omega)$）成立。

意义与主张
本文声称将边界正则性理论扩展到了 Reifenberg 平坦域上的 $g$-Laplacian 框架下，这一设定推广了以往针对 Laplacian、$p$-Laplacian 及分数 Laplacian 的结果。

作者强调，$g$-Laplacian 中齐次性的缺失相比于齐次的 $p$-Laplacian 情况创造了额外的挑战。因此，这项工作需要开发新的论证方法，特别是针对 Orlicz-Sobolev 设定及 $G$ 的特定结构条件所定制的 ABP 型估计的推导。研究结果提供了解的正则性的定量估计，证明了边界的充分平坦性（由 $\delta$ 控制）是一个鲁棒的几何条件，即使对于具有非标准增长或奇异/退化行为的算子，也能确保 Hölder 连续性。