Hölder regularity up to the boundary for the g-Laplacian on Reifenberg flat domains

Résumé technique : Régularité de Hölder jusqu'au bord pour le $g$-Laplacien sur des domaines de type Reifenberg plat

Énoncé du problème
Ce manuscrit étudie la régularité au bord des solutions faibles d'une classe de problèmes de Dirichlet elliptiques non linéaires pilotés par l'opérateur $g$-Laplacien, défini par $\Delta_g u := \text{div}\left(\frac{g(|\nabla u|)}{|\nabla u|} \nabla u\right)$. L'opérateur est associé à une fonction de Young $G$ (où $G' = g$) satisfaisant des conditions structurelles spécifiques : une condition de primitive (CP) et une condition de quotient (CQ) caractérisées par des constantes $0 < \delta_0 \le g_0$. Ces conditions englobent le $p$-Laplacien classique ainsi que des opérateurs à croissance non standard, tels que ceux impliquant des termes logarithmiques.

Le défi principal abordé consiste à établir la continuité de Hölder des solutions jusqu'au bord lorsque le domaine sous-jacent $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ manque de lissité. Plus précisément, l'étude se concentre sur les domaines de type Reifenberg plat, une classe géométrique où le bord est localement approximé par des hyperplans avec une marge d'erreur $\delta$ contrôlée. Contrairement aux domaines classiques lisses, les domaines de type Reifenberg plat peuvent posséder des frontières de nature fractale, ce qui présente des difficultés analytiques significatives pour la théorie de la régularité.

Méthodologie
La stratégie de preuve combine des arguments de décroissance itérative avec un principe de maximum spécialisé, adapté au cadre des espaces d'Orlicz-Sobolev. La méthodologie procède à travers les étapes clés suivantes :

1. Cadre et Espaces : L'analyse est menée dans les espaces d'Orlicz $L^G(\Omega)$ et les espaces d'Orlicz-Sobolev $W^{1,G}(\Omega)$. Les auteurs utilisent les propriétés structurelles de $G$ et $g$ (y compris la convexité et les bornes de croissance dérivées de $\delta_0$ et $g_0$) pour établir les inégalités nécessaires, telles que les inégalités de type Poincaré et les estimations de monotonicité (Lemme 2.7).
2. Fonctions Barrières et Décroissance Itérative : Pour prouver la continuité de Hölder en un point du bord, les auteurs emploient un argument d'induction. Ils construisent des fonctions barrières spécifiques (basées sur des puissances de la distance à une origine décalée) qui satisfont $\Delta_g \tilde{h} \le 0$. En comparant la solution $u$ avec ces barrières sur des échelles décroissantes $\rho^k$, ils visent à démontrer que l'oscillation de $u$ décroît à un taux proportionnel à $\rho^{k\alpha}$.
3. Gestion de la Non-Homogénéité : Un obstacle technique critique est l'absence d'homogénéité dans le $g$-Laplacien (contrairement au $p$-Laplacien). Les auteurs développent de nouveaux arguments pour gérer la différence entre deux solutions, laquelle ne satisfait pas une équation homogène.
4. Principe de Maximum de type ABP : Pour surmonter la difficulté des différences non homogènes, l'article établit une estimation de type Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) pour la différence de solutions faibles. Cela implique de :
   • Définir un ensemble $A(k)$ où la différence entre les solutions dépasse un certain seuil.
   • Utiliser un lemme technique (Lemme 4.1) concernant les fonctions non croissantes pour dériver des estimations de décroissance.
   • Appliquer l'inégalité de Young et les propriétés de la fonction conjuguée $\tilde{G}$ pour borner l'intégrale de la différence des gradients par la norme $L^q$ de la différence du terme source.
   • Dériver une inégalité récursive pour la mesure de l'ensemble $A(k)$, conduisant à une borne sur le supremum de la différence de la solution.

Contributions Clés et Résultats
L'article établit deux théorèmes principaux concernant la régularité de Hölder des solutions faibles $u$ jusqu'au bord :

• Théorème 1.4 ($g$-harmoniques) : Pour les fonctions $g$-harmoniques ($\Delta_g u = 0$) avec des données au bord $\psi \in C^\alpha$, les auteurs prouvent que si le domaine est suffisamment $\delta$-Reifenberg plat (avec $\delta$ dépendant des constantes structurelles et de $\alpha$), la solution est $C^\alpha$ au point du bord. L'estimation dépend de la norme $L^\infty$ de la solution et de la semi-norme de Hölder des données au bord.
• Théorème 1.5 (Cas Non-Homogène) : Pour l'équation $\Delta_g u = f$ avec $f$ appartenant à un espace spécifique de type Morrey $C^{-n/q, (1+g_0)\alpha}_q$, et en supposant que $g$ est convexe avec $1 < \delta_0 \le g_0$, il est démontré que la solution est $C^\alpha$ jusqu'au bord. L'estimation de régularité rend explicitement compte des normes du terme source $f$, des données au bord $\psi$, et de la solution elle-même.
• Corollaire 1.6 (Régularité Globale) : En combinant les estimations au bord avec la théorie existante de la régularité intérieure, l'article conclut que la continuité de Hölder globale ($u \in C^\beta(\Omega)$) est vérifiée pour les solutions sur des domaines qui sont $\delta$-Reifenberg plats en chaque point du bord.

Signification et Revendications
L'article prétend étendre la théorie de la régularité au bord au cadre du $g$-Laplacien sur des domaines de type Reifenberg plat, un cadre qui généralise les résultats précédents pour le Laplacien, le $p$-Laplacien et le Laplacien fractionnaire.

Les auteurs soulignent que l'absence d'homogénéité dans le $g$-Laplacien crée des défis supplémentaires par rapport au cas homogène du $p$-Laplacien. Par conséquent, le travail nécessite le développement de nouveaux arguments, particulièrement la dérivation d'une estimation de type ABP adaptée au cadre d'Orlicz-Sobolev et aux conditions structurelles spécifiques de $G$. Les résultats fournissent des estimations quantitatives de la régularité des solutions, démontant que la platitude suffisante du bord (contrôlée par $\delta$) est une condition géométrique robuste qui assure la continuité de Hölder, même pour des opérateurs présentant une croissance non standard ou un comportement singulier ou dégénéré.